资源简介

专题训练二　全等三角形的基本模型
平移模型
模型展示
　　此模型的特征是有一组边共线或部分重合,另外两组边分别平行,需要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线的性质找到对应角相等.
1.(名师原创)如图,点A,D,C,F在一条直线上,且AD=CF,AB=DE,∠BAC=∠EDF.
(1)求证:∠B=∠E.
(2)若CG=4,CG∶BG=2∶3,求EF的长度.
旋转模型
模型展示
2.如图,在△ABC和△CDE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,连接AD,BE交于点M.
(1)如图1,当点B,C,D在同一条直线上,且∠ACB=∠DCE=45°时,可以得到一对全等三角形,即　　　　≌　　　　.
(2)当点D不在直线BC上时,如图2,且∠ACB=∠DCE=α.
①求证:AD=BE;
②求∠EMD的大小(用含α的代数式表示).
图1　 　图2
对称(翻折)模型
模型展示
3.如图,点A,D,B,E在同一直线上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E,
(1)求证:△ABC≌△EDF.
(2)当∠C=90°,∠ABC=60°时,求∠E的度数.
4.(2025衡水武邑县月考)如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.
(1)求证:AD=AG.
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
一线三等角模型
模型展示
模型 展示 同侧型
异侧型
特点 A,P,B三点在同一条直线上,且∠1=∠2=∠3
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.
(1)求证:△ADC≌△CEB.
(2)AD=5 cm,DE=3 cm,求BE的长度.
半角模型
模型展示
模型 展示 90°角夹 45°角
120°角 夹60°角
特点 在一个角的顶点处引出两条射线,使夹角为已知角的一半,且至少有一条射线在已知角的内部
6.(1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,求证:EF=BE+FD.
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD,说明理由.
图1　 　图2
【详解答案】
1.解:(1)证明:∵AD=CF,
∴AD+CD=CF+CD,即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠B=∠E.
(2)∵CG∶BG=2∶3,CG=4,
∴BG=6.
∴BC=BG+CG=6+4=10.
由(1)得△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=10.
2.解:(1)△BCE　△ACD
(2)①证明:∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
②∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠BAC+∠ABC=180°-α,
∴∠BAM+∠ABM=180°-α.
∴∠EMD=∠AMB=180°-(180°-α)=α.
3.解:(1)证明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△EDF中,
∴△ABC≌△EDF(SAS).
(2)∵∠C=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-60°=30°,
∵△ABC≌△EDF,
∴∠E=∠A=30°.
4.解:(1)证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠HFB=∠HEC=90°,
又∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠ACG,
在△ABD和△GCA中,
∴△ABD≌△GCA(SAS),
∴AD=AG.
(2)位置关系是AD⊥AG.
理由:∵△ABD≌△GCA,
∴∠ADB=∠GAC,
又∵∠ADB=∠AED+∠DAE,
∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,
∴AD⊥AG.
5.解:(1)证明:∵AD⊥CE,∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
在△ADC与△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)由(1)知,△ADC≌△CEB,
∴AD=CE=5 cm,CD=BE.
∵CD=CE-DE,
∴BE=AD-DE=5-3=2(cm).
6.解:(1)证明:如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,则△ADG≌△ABE.
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,
DG=BE.
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+
∠BAE=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE.
在△GAF和△EAF中,
∴△GAF≌△EAF(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+FD.
∴EF=BE+FD.
图1　　
(2)当∠BAD=2∠EAF时,仍有EF=BE+FD.理由如下:
如图2,延长CB至点M,使BM=DF,连接AM.
图2
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,∴∠D=∠ABM.
在△ABM和△ADF中,
∴△ABM≌△ADF(SAS).
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM.
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF.
∴∠BAE+∠BAM=∠EAM=∠EAF.
在△FAE和△MAE中,
∴△FAE≌△MAE(SAS).
∴EF=EM=BE+BM=BE+FD,
即EF=BE+FD.

展开更多......

收起↑