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专题训练三　巧作辅助线构造全等三角形
作平行线构造全等三角形
1.(2025张家口桥东区期中)如图,过△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上的一点,连接PQ交AC于点D,已知AP=CQ,∠A=∠ACB.
求证:DP=DQ.
作垂线构造全等三角形
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABD=∠CBE=90°,BA=BD,BC=BE,延长CB交DE于点F.
求证:EF=DF.
用“截长法”或“补短法”构造全等三角形
3.如图,AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上.
求证:BC=AB+CD.
【详解答案】
1.证明:过点P作PF∥CQ交AC于点F,如图所示.
∴∠FPD=∠Q,∠AFP=∠ACB,
∵∠A=∠ACB,
∴∠A=∠AFP,
在△APE与△FPE中,
∴△APE≌△FPE(AAS),
∴AP=PF,
∵AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD与△QCD中,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴DP=DQ.
2.证明:如图,过点D作DG⊥CF的延长线于点G,
∵∠ABC+∠DBG=180°-∠ABD=90°,∠BDG+∠DBG=180°-∠BGD=90°,
∴∠ABC=∠BDG.
又∵∠ACB=∠BGD=90°,BA=BD,
∴△ABC≌△BDG(AAS).
∴BC=DG,
又∵BC=BE,∴BE=DG,
又∵∠EBF=∠DGF=90°,
∠EFB=∠DFG,
∴△BFE≌△GFD(AAS),
∴EF=DF.
3.证明:如图,在BC上截取BF=BA,连接EF,∵BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中,
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠5.
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∴∠5+∠D=180°.
∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中,
∴△CDE≌△CFE(AAS),
∴CF=CD,
∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.

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