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专题训练四　全等三角形的应用
与线段有关的计算与推理
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.
求证:CB=CD.
与角有关的计算与推理
2.(2025遵化期中)如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点P.
(1)求证:PC=PB.
(2)求证:∠CAP=∠BAP.
(3)由(2)的结论,你能设计一种画角的平分线的方法吗
利用全等三角形解决动点问题
3.(2025石家庄期末)如图,AB∥DE,AE与BD相交于点C,AC=EC,AB=8 cm.点P从点A出发,沿A→B→A方向以3 cm/s的速度运动,同时点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,当点P回到点A时,P,Q两点同时停止运动.
(1)DE的长为　　　　cm.
(2)连接PQ,当线段PQ经过点C时,点P的运动时间为　　　　s.
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a(a>0)个单位长度的速度由点C向点A运动.设运动时间为t s(0≤t≤3).
(1)线段PC=　　　　(用含t的代数式表示).
(2)若点P,Q的运动速度相等,t=1时,请你探究△BPD与△CQP是否全等,并说明理由.
全等三角形的实际应用
5.如图,为了测量B点到河对面的目标A的距离,在B点同侧选择了一点C,测得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M处立了标杆,使∠CBM=75°,∠MCB=35°,得到△MBC≌△ABC,所以测得MB的长就是A,B两点间的距离,这里判定△MBC≌△ABC的理由是 (　　)
A.SAS B.AAA C.SSS D.ASA
6.如图,小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千,小明坐在秋千的起始位置A处,OA的延长线与地面垂直,垂足为F,他两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OF的水平距离BD,CE分别为1.6 m和2 m,∠BOC=90°,求小明到达点C时距离地面的高度.
7.(教材变式)如图,小刚站在河边的点A处,在河的对面(小刚的正北方向)的点B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了30步到达一棵树点C处,接着再向前走了30步到达点D处,然后他左转90°直行,当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置点E在一条直线上时,他共走了140步.
(1)根据题意,画出示意图.
(2)如果小刚一步大约为50 cm,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离.
8.(跨学科)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角γ等于入射角θ.这就是光的反射定律.
问题解决:如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处,点F到地面的高度CF=1.5 m,点A、点C到平面镜点B的距离相等.图中点A,B,C,D在同一条直线上.求灯泡到地面的高度AG.
图1 图2
【详解答案】
1.证明:如图,连接AC.
∵AE=AF,CE=CF,AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(SSS).
∴∠CAE=∠CAF.
又∵∠B=∠D=90°,CA=CA,
∴△ACB≌△ACD(AAS).∴CB=CD.
2.解:(1)证明:在△ADC和△AEB中,
∵
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴∠C=∠B,
∵AB=AC,AD=AE,
∴AC-AE=AB-AD,即CE=BD.
在△EPC和△DPB中,
,
∴△EPC≌△DPB(AAS),
∴PC=PB.
(2)证明:在△ACP和△ABP中,
∵
∴△ACP≌△ABP(SAS),
∴∠CAP=∠BAP.
(3)在∠A的两边上分别截取AC=AB,AE=AD,再连接CD,BE,两线交于点P,再画射线AP即可.
3.(1)8　(2)2或4　解析:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠E,
在△ACB和△ECD中,
∴△ACB≌△ECD(ASA),
∴DE=AB=8 cm.
(2)设点P的运动时间为t s,当线段PQ经过点C时,如图所示.
在△ACP和△ECQ中,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ,
当点P沿A→B方向运动时,
AP=3t,DQ=t,
∴EQ=ED-DQ=8-t,
∴3t=8-t,
解得t=2;
当点P沿B→A方向运动时,
AP=2AB-3t=16-3t,DQ=t,
∴EQ=ED-DQ=8-t,
∴16-3t=8-t,
解得t=4;
综上可知,t的值为2或4.
4.解:(1)6-2t
(2)当t=1时,△BPD与△CQP全等,理由如下:
根据题意,得BP=2,CQ=2,
∴BP=CQ=2,PC=BC-BP=4,
∵AC=AB=8,点D为AB的中点,
∴BD=AB=4.
∴BD=CP=4.
在△BPD与△CQP中,
∴△BPD≌△CQP(SAS).
5.D　解析:在△ABC和△MBC中,
∴△ABC≌△MBC(ASA).故选D.
6.解:∵BD⊥OF,CE⊥OF,
∴∠ODB=∠OEC=90°,∴∠OBD+∠BOD=180°-∠ODB=90°,
∠OCE+∠COE=180°-∠OEC=90°,
∵∠BOC=90°,
∴∠BOD+∠COE=90°,
∴∠BOD=∠OCE,∠OBD=∠COE,
在△OBD与△COE中,
∴△OBD≌△COE(ASA).
∴OD=CE=2 m,OE=BD=1.6 m.
∵FD=1.2 m,
∴FE=FD+DE=FD+(OD-OE)=1.2+(2-1.6)=1.6(m),即小明到达点C时距离地面的高度为1.6 m.
7.解:(1)所画示意图如图所示.
(2)在△DEC和△ABC中,
∴△DEC≌△ABC(ASA).
∴DE=AB.
又∵小刚共走了140步,其中AD走了60步,
∴DE走了80步.
∵小刚一步大约为50 cm,即0.5 m,
∴DE=80×0.5=40(m).
∴AB=40 m.
答:小刚在点A处时他与电线塔的距离约为40 m.
8.解:根据题意,得法线垂直于平面镜,且∠θ=∠γ,
∴∠GBA=∠FBC.
在△FCB和△GAB中,
∴△FCB≌△GAB(ASA).
∴AG=CF=1.5 m.

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