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第十五章　二次根式 测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各式是最简二次根式的是 (　　)
A. B. C. D.
2.二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为 (　　)
A B
C D
3.下列命题中的真命题是 (　　)
A.x为任意实数时,()2=成立 B.x为任意有理数时,()2=成立
C.只有当x>0时,()2=成立 D.当x≥0时,()2=成立
4.估计(2+5)×的值应在 (　　)
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
5.已知n是正整数,是整数,则n的最小值是 (　　)
A.0 B.2 C.3 D.7
6.若最简二次根式与5可以合并,则m的值为 (　　)
A.-2 B.2 C.0 D.4
7.若a=-1,则a+b的值为 (　　)
A.1 B.0 C.-1 D.2
8.对于任意的正数m,n,定义运算“※”为m※n=计算(3※2)×(8※12)的结果为(　　)
A.2-4 B.2
C.2 D.20
9.下面的计算和推导过程:
∵,(第一步)
∴=3.(第二步)
∵-3,(第三步)
∴-3=3.(第四步)
其中首先错误的一步是 (　　)
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
10.如图,长方形内三个相邻的正方形面积分别为2,3,4,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.2 B.
C.2-2-3 D.2+2-5
11.按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为,则最后输出的结果是 (　　)
A.14 B.16 C.8+5 D.14+
12.如图是一个按某种规律排列的数阵:
根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)
(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若代数式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　　　　　 　.
14.把二次根式化为最简二次根式时,正确结果为　　　　.
15.(2025石家庄栾城区期中)计算:()×=　　　　.
16.已知x=,y=,则-4=　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:
(1)-2.
(2)(6+2)(6-2)+(3-5)2.
18.(8分)嘉淇计算÷时,想起分配律,于是他按分配律完成了下列计算.
解:原式==3+5.
他的解法正确吗 若不正确,请指出错误,并给出正确的解答过程.
19.(8分)已知,且x为奇数,求(1+x)·的值.
20.(8分)先化简,再求值:,其中x=2+.
21.(8分)安全问题,时刻警醒.高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”,即便是常见小物件,一旦高空落下,也威力惊人,而且用时很短,常常避让不及造成伤害.经过查阅相关资料,小南同学得到高空坠物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=.(不考虑风速的影响,g=10,单位:m/s2)
(1)求从60 m高空抛物到落地的时间t(精确到0.1 s,≈1.41,≈1.73).
(2)若某玩具在高空被抛出后经过4 s后落在地上,求玩具抛出前离地面的高度h.
22.(10分)像,,…这样的根式叫作复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简,如:-1;再如:.请用上述方法探索并解决下列问题:
已知有理数a,b满足=a+(b-2)·,求a,b的值.
23.(10分)(2025邵东月考)如图,正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为() cm和() cm的正方形相框.
(1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍
(2)现在小华想用长为25 cm的彩带给这两个相框镶边,请你帮忙计算现有的彩带够吗 如果不够用,大约还需要买多长的彩带 (参考数据:≈3.9)
24.(12分)阅读下面的材料,解答后面的问题.
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如与,+1与-1.
(1)请你再写出两个含有二次根式的代数式,使它们互为有理化因式:　　　　与　　　　.
(2)这样,在化简一个分母中含有二次根式的式子时,就可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法了.
请仿照上面给出的方法化简下列各式:
①;　②(b≥0,b≠1).
(3)化简时,甲的解法是,乙的解法是.以下判断正确的是 (　　)
A.甲的解法正确,乙的解法不正确
B.甲的解法不正确,乙的解法正确
C.甲、乙的解法都正确
D.甲、乙的解法都不正确
(4)已知a=,b=,求的值.
【详解答案】
1.D　解析:A与C中,被开方数为分数,不是最简二次根式;B.75=25×3,不是最简二次根式;只有D是最简二次根式.故选D.
2.C　解析:二次根式在实数范围内有意义,则1-x≥0,解得x≤1,则实数x的取值范围在数轴上表示为
故选C.
3.D　解析:对于,只有x为非负数时才有意义,对于,x为任意实数时都有意义.故选D.
4.B　解析:原式=2+,∵3<<4,∴5<2+<6.故选B.
5.D　解析:∵=2,且是整数,∴7n是个完全平方数,∴n的最小值是7.故选D.
6.B　解析:根据题意,得两个二次根式的被开方数相同,即2m+3=4m-1,解得m=2.故选B.
7.A　解析:要使a=-1有意义,必须2b-4≥0且4-2b≥0,解得b=2,所以a=0+0-1=-1,所以a+b=-1+2=1.故选A.
8.B　解析:根据定义可得,原式=()×()=()×(2+2)=2()×()=2.故选B.
9.C　解析:∵-3=-=-,∴首先错误的一步是第三步.故选C.
10.D　解析:三个正方形的边长分别为,,2,则图中阴影部分的面积为()×2-2-3=2+2-5.故选D.
11.C　解析:因为(+1)=2+<15,(2+)(2++1)=(2+)×(3+)=8+5>15,所以输出结果为8+5.故选C.
12.C　解析:由题图中规律知,前(n-1)行的数据个数为2+4+6+…+2(n-1)=n(n-1),所以第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数的被开方数是n(n-1)+n-3=n2-3,所以第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是.故选C.
13.x≥-2且x≠1　解析:由题可知,x+2≥0,且x-1≠0,所以x≥-2且x≠1.
14.　解析:.
15.6-7　解析:原式==6-6=6-7.
16.30　解析:∵x==3+2,y==3-2,∴x+y=6,xy=9-8=1,∴-4=-4=-4=-4=34-4=30.
17.解:(1)原式=+2-2=4+4-10=-2.
(2)原式=62-(2)2+(3)2-30+25=36-28+63-30+25=96-30.
18.解:他的解法不正确.错在对除法使用了分配律.正确的解答过程如下:
=
.
19.解:∵,
∴解得6≤x<9.
又∵x是奇数,
∴x=7,
∴(1+x)
=(1+x)
=(1+x)
=.
∴当x=7时,原式=2.
20.解:=
··
,
∴当x=2+时,
原式=.
21.解:(1)将h=60代入t=,得t==2≈3.5(s).
答:从60 m高空抛物到落地的时间t约为3.5 s.
(2)将t=4代入t=,得=4,即=4,
所以=16,解得h=80.
答:玩具抛出前离地面的高度h为80 m.
22.解:====2-.
根据题意,得a+(b-2)·=2-,
∴
23.解:(1)∵大相框的面积为()2 cm2,小相框的面积为()2 cm2,
∴=(2+)2=7+4.
答:大相框的面积是小相框面积的(7+4)倍.
(2)不够用.
镶边所需要的彩带长为:
4×()+4×()=8≈31.2 cm>25 cm,
∴现有的彩带不够用.
∵31.2-25=6.2,
∴还需要购买约6.2 cm长的彩带.
24.解:(1)(答案不唯一)　
(2)①=17-12.
②=
=1+.
(3)C
(4)∵a=+2,
b=-2,
∴a2+b2=(+2)2+(-2)2=18,
∴=6.

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