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期末评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024哈尔滨中考)剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
A　　 B　　　 C　　　 D
2.下列四个数-2,-1,0,到原点距离最远的数是 (　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.
3.(2025秦皇岛海港区期末)用四舍五入法,分别按要求取0.173 26的近似值,下列结果中错误的是(　　)
A.0.2(精确到0.1) B.0.17(精确到0.01)
C.0.174(精确到0.001) D.0.173 3(精确到0.000 1)
4.若a<2,则下列二次根式一定有意义的是 (　　)
A. B. C. D.
5.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为 (　　)
A.4 B. C. D.
6.如图,甲、乙两位同学分别用尺规作∠APB的平分线PQ,则关于两人的作图方法,下列判断正确的是 (　　)
A.甲、乙均正确 B.只有甲正确
C.只有乙正确 D.甲、乙均不正确
7.若a=,b=,则= (　　)
A.2 B.4 C. D.
8.如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为 (　　)
A.1 B. C. D.
9.如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.若关于x的方程=1的解为正数,则m的取值范围是 (　　)
A.m<3 B.m>3 C.m≠1 D.m<3且m≠1
11.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD2等于 (　　)
A.15 B.16 C.17 D.20
12.(2025厦门思明区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,D为BC上一动点,EF垂直平分AD,分别交AC于点E、交AB于点F,则BF的最大值为 (　　)
A. B. C. D.2
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若×a=6,则a=　　　　.
14.如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要　　　　m.
15.如图,AD是△ABC的BC边上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为　　　　.
16.如图,在△ABC中,AB=AC=24 cm,BC=16 cm,点D为AB的中点,点P在线段BC上以4 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.当点Q的运动速度为
　　　 　cm/s时,能够在某一时刻使以C,P,Q为顶点的三角形与△BPD全等.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9.
(1)求a的值.
(2)求这个正数m.
(3)求关于x的方程ax2-16=0的解.
18.(9分)化简或计算:
(1)化简:.
(2)计算:×2-6.
(3)计算:-()().
19.(8分)在4×3的网格上,由个数相同的白色方块与灰色方块组成一幅图案,请仿照此图案,在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注:①不得与原图案相同;②灰、白方块的个数要相同).
(1)既是轴对称图形,又是中心对称图形;
(2)是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(3)是中心对称图形,但不是轴对称图形.
20.(8分)学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程如下:
有甲、乙两个工程队,甲队修路400 m与乙队修路600 m所用时间相等,乙队每天比甲队多修20 m,求甲队每天修路的长度.
聪聪:;
明明:=20.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)选择:聪聪同学所列方程中的x表示　　　　,明明同学所列方程中的y表示　　　　.
A.甲队每天修路的长度
B.乙队每天修路的长度
C.甲队修路400 m所用的时间
(2)你喜欢　　　　列的方程,该方程的等量关系为　　　　　　　　　　.
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
21.(8分)如图,点C为直线l上一点,A,B为直线l外两点,过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足为D,E,连接BC,AB,且AB交直线l于点F,若AC=BC,AD=CE.
求证:(1)CE=BE+DE.
(2)AC⊥BC.
22.(9分)(1)如图1,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40°(AB>AD),连接BD,CD,点E在AB边上且D,E,C三点在同一条直线上,在这个“手拉手”模型中,和△ABD全等的三角形是　　　　,∠BDC的度数为　　　　.
(2)如图2,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,连接BD,CE.点B,D,E在同一条直线上,请判断线段BD和CE的数量关系及直线BD和CE的位置关系,并说明理由.
23.(10分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD为角平分线,延长BC到点E,使CE=CD,作DH⊥BE,垂足为H.
(1)求证:H为BE的中点.
(2)当∠A为90°时,求证:AD=HC.
24.(12分)地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害,四川是地震频发区,为更好地研究地震的破坏性,石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验.如图为地面(AB)以下至地震波反射面(MN)的横截面示意图,其中,O为震源,A为震中,B为观测站,OA⊥AB,AB∥MN.从O会同时发出两种震波:直达波(路径为OB)和反射波(路径为OCB),它们的传播速度相同.已知震源深度h=14 km,震中至观测站距离AB=48 km.
(1)求直达波传播的距离OB.
(2)已知反射波(路径OCB)满足∠OCM=∠BCN,地震波的传播速度为5 km/s,观测站收到两种地震波的时间差为2 s,求地面与反射面的距离h'.
【详解答案】
1.D　解析:A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意;B.是中心对称图形,但不是轴对称图形,不合题意;C.是轴对称图形,但不是中心对称图形,不合题意;D.既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意.故选D.
2.A　解析:|-2|=2,|-1|=1,∵2>>1>0,∴-2到原点距离最远.故选A.
3.C　解析:A.结果正确,不符合题意;B.结果正确,不符合题意;C.正确结果为0.173 26≈0.173(精确到0.001),符合题意;D.结果正确,不符合题意.故选C.
4.C
5.A　解析:∵在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=1,∴AB=2AC=2,∴BB'=2AB=4.故选A.
6.A　解析:在甲同学的作图中,连接OM,ON,如图所示,根据作图痕迹可得△POM≌△PON(SSS),则∠OPM=∠OPN,即PQ平分∠APB;根据乙同学的作图痕迹,可知PE=PF,∠KEP=∠KFP=90°,所以Rt△PKE≌Rt△PKF(HL),得∠KPE=∠KPF,即PQ平分∠APB.故选A.
7.A　解析:∵a=,b=,∴=2.故选A.
8.C　解析:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°.∴∠ADF=∠CFE=30°.∴AF=AD,CE=CF.∵D是AB的中点,∴AD=1.∴AF=,CF=,CE=.∴BE=BC-CE=2-.故选C.
9.D　解析:①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,可得△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,正确;②∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE,∴∠ACE+∠DBC=45°,正确;③∵∠ACB=45°,∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,则BD⊥CE,正确;④∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°,正确.故选D.
10.D　解析:方程两边同乘x-1,得2-(x+m)=x-1,解得x=.∵方程的解是正数,∴>0且≠1,解得m<3且m≠1.故选D.
11.C　解析:∵AC⊥BD于点O,AD=1,BC=4,
∴AO2+DO2=AD2=12=1,BO2+CO2=BC2=42=16,BO2+AO2=AB2,CO2+DO2=CD2.
∴AB2+CD2=BO2+AO2+CO2+DO2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)=AD2+BC2=1+16=17.故选C.
12.C　解析:过点F作FH⊥BC于点H,连接DF,如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,
∴AB=2AC=4,∵EF垂直平分AD,∴AF=DF,若要使BF最大,则AF需要最小,设AF=x,则BF=4-x,∵∠B=30°,
∴FH=BF=2-x,∴x≥2-x,解得x≥,∴AF的最小值为,∴BF的最大值为4-.故选C.
13.2　解析:∵×a=3a=6,∴a=2.
14.17　解析:由勾股定理得楼梯的水平宽度==12(m),∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,∴地毯的长度至少需要12+5=17(m).
15.316.4或6　解析:设经过x s后,使以C,P,Q为顶点的三角形与△BPD全等.∵AB=AC=24 cm,点D为AB的中点,∴BD=12 cm.∵∠ABC=∠ACB,∴要使两个三角形全等,必须BD=CP或BP=CP,即12=16-4x或4x=16-4x,解得x=1或x=2.当x=1时,BP=CQ=4 cm,4÷1=4(cm/s);当x=2时,BD=CQ=12 cm,12÷2=6(cm/s).综上,点Q的运动速度是4或6 cm/s.
17.解:(1)根据题意,得a+6+2a-9=0.解得a=1.
(2)当a=1时,a+6=1+6=7,
∴m=72=49.
(3)当a=1时,方程ax2-16=0为x2-16=0,
即x2=16,
∴x=±4.
18.解:(1)原式=
=
=·
=.
(2)原式=3×2-6
=12-6
=6.
(3)原式=12-4+1-(7-5)
=12-4+1-2
=11-4.
19.解:答案不唯一.
(1)如图1.
(2)如图2.
(3)如图3.
20.解:(1)A　C
(2)(答案不唯一)聪聪　甲队修路400 m与乙队修路600 m所用时间相等
(3),
方程两边同乘x(x+20),化简,解得x=40,
经检验x=40是原分式方程的解,且符合题意.
答:甲队每天修路的长度为40 m.
(答案不唯一)
21.证明:(1)∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
在Rt△ACD和Rt△CBE中,
∴Rt△ACD≌Rt△CBE(HL),
∴BE=CD,
∵CE=CD+DE,
∴CE=BE+DE.
(2)由(1)可知Rt△ACD≌Rt△CBE,
∴∠ACD=∠CBE,
∵∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
22.解:(1)△ACE　40°
(2)BD=CE且直线BD⊥直线CE,理由如下:
由题意可得∠ADE=∠AED=45°,
∠BAD=∠CAE=90°-∠CAD,
∴∠ADB=180°-∠ADE=135°,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=135°,
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=90°,
∴直线BD⊥直线CE.
23.证明:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠4.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2.
∴∠4=2∠2.
∵CE=CD,∴∠3=∠E.
∴∠4=∠3+∠E=2∠E.
∴∠2=∠E.
∴△BDE为等腰三角形,
∴BD=ED.
∵DH⊥BE,
∴H为BE的中点.
(2)∵BD为∠ABC的平分线,DH⊥BE,DA⊥BA,
∴AD=DH.
∵AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴∠DCH=45°.
∵∠DHC=90°,
∴△DHC为等腰直角三角形.
∴DH=HC.∴AD=HC.
24.解:(1)∵OA⊥AB,∴∠OAB=90°,
又∵OA=h=14 km,AB=48 km,
∴OB==50(km).
(2)延长AO交MN于点P,延长BC交AO的延长线于点Q,如图所示.
∵直达波和反射波的传播速度相同,地震波的传播速度为5 km/s,观测站收到两种地震波的时间差为2 s,
∴=2,
∵OB=50 km,∴OC+BC=60 km.
∵∠OCM=∠BCN,∠BCN=∠PCQ,
∴∠OCM=∠PCQ,
又∵CP⊥OQ,∴∠CPO=∠CPQ=90°.
又∵PC=PC,∴△OCP≌△QCP(ASA),∴OC=QC,OP=PQ.
∴QB=QC+CB=OC+CB=60 km,
在Rt△AQB中,AQ==36(km).
∴OQ=AQ-OA=22 km,
∴OP=11 km,
∴h'=AP=AO+OP=14+11=25(km).

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