资源简介

6.1.1　空间向量的线性运算
1.化简（－）－（－）的结果是（　　）
A.0 B.
C. D.
2.向量a，b互为相反向量，已知｜b｜＝3，则下列结论正确的是（　　）
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.｜a｜＝3
3.（2024·南通月考）如图，在四面体ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋（－）＝（　　）
A. B.
C. D.
4.如果向量，，满足｜｜＝｜｜＋｜｜，那么下列判断正确的是（　　）
A.＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与同向
5.（多选）下列命题是真命题的是（　　）
A.若点A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B.若点A，B，C，D不在一条直线上，则与一定不是共线向量
C.若与是共线向量，则点A，B，C，D一定在一条直线上
D.若与是共线向量，则点A，B，C一定在一条直线上
6.（多选）（2024·扬州月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是（　　）
A.（－）－ B.（＋）－
C.（－）＋ D.（－）－
7.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，与是　　　　向量，与是　　　　向量.（用相等、相反填空）
8.设e1，e2是不共线的空间向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为　　　　.
9.（2024·盐城月考）已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD的形状是　　　　.
10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）－－.
11.（2024·镇江月考）在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点.若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值是（　　）
A.1 B.2 C. D.
12.（多选）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与共线的向量是（　　）
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D.－a－b＋c
13.设G为△ABC的重心，O为△ABC所在平面外一点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝　　　　.
14.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）.
15.（2024·宿迁月考）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
6.1.1　空间向量的线性运算
1.A　原式＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
2.D　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.
3.C　因为－＝，（－）＝＝，所以＋（－）＝＋＝.故选C.
4.D　∵｜｜＝｜｜＋｜｜，∴A，B，C共线且点C在AB之间，即与同向.故选D.
5.AD　对选项A，由点A，B，C，D在一条直线上，可得，的方向相同或相反，所以与一定是共线向量，故A为真命题；对选项B，由点A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，所以不能判断与是否为共线向量，故B为假命题；对选项C，，两向量所在的直线是否有公共点不确定，所以四点不一定在同一条直线上，故C为假命题；对选项D，由，两向量所在的直线至少有一个公共点A，且与是共线向量，所以三点一定共线，故D为真命题.故选A、D.
6.ABC　对于选项A，（－）－＝－＝；对于选项B，（＋）－＝＋＝；对于选项C，（－）＋＝＋＝；对于选项D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故选A、B、C.
7.相等　相反　解析：由相等向量与相反向量的定义知：与是相等向量，与是相反向量.
8.－8　解析：因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，且e1与e2不共线，故由向量共线的充要条件得＝，所以k＝－8.
9.平行四边形　解析：由已知可得＝，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形.
10.解：（1）＋＝.
（2）因为M是BB1的中点，
所以＝＝.
所以＋＋＝＋＝.
（3）－－＝－＝.
向量，，如图所示.
11.A　由题意得＝（＋），＝，所以＝·＋·2＝＋.因为G，M，N三点共线，所以设＝λ，即－＝λ（－），即＝（1＋λ）·－λ，所以解得
12.AC　因为＝＋＝＋（＋）＝c＋（－a＋b）＝－a＋b＋c，a－b－c＝－（－a＋b＋c），所以与共线的向量是－a＋b＋c和a－b－c.
13.（a＋b＋c）
解析：如图所示.∵＝＋（D为BC边的中点），＝（＋）＝（b＋c），＝＝＝－[（b－a）＋（c－a）]＝－（b＋c）＋a，∴＝（b＋c）－（b＋c）＋a＝（a＋b＋c）.
14.解：（1）∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
（2）∵N是BC的中点，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
（3）∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c.
15.证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－
＝－＝
＝（－）＝
＝（－）＝，
∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜.
又点F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
2 / 26.1.1　空间向量的线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念 数学抽象、直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程 逻辑推理
3.掌握共线向量定理及其应用 数学抽象、数学运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动.原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去.
【问题】　同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间向量的概念
1.定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有　　　　又有　　　　的量，叫作空间向量.
2.几何表示法：空间向量用　　　　　　表示.
3.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为　　　　记作0
单位向量 　　　　　　　　的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度　　　　，方向　　　　的向量，叫作a的相反向量，记作－a
相同的向量 所有　　　　相等且　　　　　　的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b　　　　
知识点二　空间向量的线性运算
1.空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：
＝＋＝　　　　；
＝－＝　　　　＝　　　.
若P在直线OA上，则＝　　　（λ∈R）.
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律
（1）a＋b＝　　　　；
（2）（a＋b）＋c＝　　　　　　；
（3）λ（a＋b）＝　　　　　　（λ∈R）.
【想一想】
1.由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？
2.λa的长度是a的长度的λ倍吗？
知识点三　共线向量与共线向量定理
1.共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　或　　　　，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作　　　　.规定零向量与　　　　向量共线.
2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使　　　　.
提醒　在共线向量定理中，要特别注意a≠0，若不加a≠0，则该充要性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，则a∥b，但λ不存在，该充要性也就不成立了.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量的长度与向量的长度相等.（　　）
（2）若A，B，C三点共线，则与共线.（　　）
（3）对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，则a∥c.（　　）
2.化简－＋所得的结果是（　　）
A. B.
C.0 D.
3.已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
题型一 空间向量的概念辨析
【例1】　（多选）下列命题为真命题的是（　　）
A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中任意两个单位向量必相等
通性通法
空间向量的概念辨析
　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反.
【跟踪训练】
如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中：
（1）试写出与是相等向量的所有向量；
（2）试写出的相反向量.
题型二 空间向量的线性运算
【例2】　（链接教科书第6页例1）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）＋＋；
（2）－＋；
（3）＋＋（－）.
通性通法
解决空间向量线性运算问题的方法
　　进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点.若＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b＋c D.a－b＋c
2.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是边CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝　　　　，y＝　　　　.
题型三 共线向量定理
【例3】　（链接教科书第7页例2）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
通性通法
1.判断两个非零向量共线的方法
判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
2.证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ（λ∈R）；
（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；
（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.
【跟踪训练】
1.（2024·南京月考）若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2（k＋1）e2共线的k的值为　　　　.
2.（2024·常州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.
1.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（　　）
A. B.
C. D.
2.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C.对于空间内任意一个向量a，存在λ∈R，使得λa＝0
D.在四边形ABCD中，－＝
3.（2024·淮安月考）设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为　　　　.
6.1.1　空间向量的线性运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.大小　方向　2.有向线段　3.零向量　长度等于1个单位长度　相等　相反　长度　方向相同　相等
知识点二
1.a＋c　a－b　－c　λa　2.（1）b＋a
（2）a＋（b＋c）　（3）λa＋λb
想一想
1.提示：不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
2.提示：不是，应是｜λ｜倍.
知识点三
1.平行　重合　a∥b　任意　2.b＝λa
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.C　－＋＝＋－＝－＝0，故选C.
3.A　∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线.
【典型例题·精研析】
【例1】　BC　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等.故选B、C.
跟踪训练
　解：（1）与向量是相等向量（除它自身之外）的有，，，共3个.
（2）向量的相反向量为，，，.
【例2】　解：（1）＋＋＝＋＋＝.
（2）－＋＝－（－）＝－＝.
（3）＋＋（－）
＝＋（＋）
＝＋.
设M是线段CB'的中点，
则＋＋（－）
＝＋＝.
向量，，如图所示.
跟踪训练
1.A　由题意得＝，＝，所以＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选A.
2.－　－
解析：画出如图所示图形，∵＝－＝－（＋）＝－－，∴x＝y＝－.
【例3】　证明：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋. ①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－， ②
①＋②得2＝，∴∥.
又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN.
法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－
＝（＋）－
＝（＋）－（＋）
＝（－）＝（－）＝.
∴∥.
又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN.
跟踪训练
1.－　解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）e2]，又e1与e2不共线，所以
解得
2.证明：设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝（－）＝（＋－）＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线.
随堂检测
1.C　＋－＝＋＝－＝.
2.CD　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量a，存在实数λ＝0，使得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
3.A　∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，∴＝＋＝（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2.∵A，B，D三点共线，∴＝λ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋6e2）.∵e1，e2是不共线向量，∴∴k＝1.
4.0　解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.故＋－－＝＋－＋＝＋＋＋＝0.
4 / 4(共60张PPT)
6.1.1　空间向量的线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间
推广的过程，了解空间向量的概念 数学抽象、直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则
推广到空间向量的过程 逻辑推理
3.掌握共线向量定理及其应用 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是
就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力
气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不
动.原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池
塘拉去.
【问题】　同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
知识点一　空间向量的概念
1. 定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有 又
有 的量，叫作空间向量.
2. 几何表示法：空间向量用 表示.
大小　
方向　
有向线段　
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为 记作0
单位向量 的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量，叫作a
的相反向量，记作－a
相同的 向量 所有 相等且 的向量都看作相同的
向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b
零向量　
长度等于1个单位长度　
相等　
相反　
长度　
方向相同　
相等　
3. 几类特殊的空间向量
知识点二　空间向量的线性运算
1. 空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，
＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘
运算的意义为：
＝ ＋ ＝ ；
＝ － ＝ ＝ .
若P在直线OA上，则 ＝ （λ∈R）.
a＋c　
a－b　
－c　
λa　
2. 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律
（1）a＋b＝ ；
（2）（a＋b）＋c＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ （λ∈R）.
b＋a　
a＋（b＋c）　
λa＋λb　
【想一想】
1. 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？
提示：不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
2. λa的长度是a的长度的λ倍吗？
提示：不是，应是｜λ｜倍.
知识点三　共线向量与共线向量定理
1. 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相 或 ，那么这些向量叫作共线向量或
平行向量.向量a与b平行，记作 .规定零向量与
向量共线.
2. 共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线
的充要条件是存在实数λ，使 .
提醒　在共线向量定理中，要特别注意a≠0，若不加a≠0，则该
充要性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，则a∥b，但λ不存
在，该充要性也就不成立了.
平行　
重合　
a∥b　
任意　
b＝λa　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量 的长度与向量 的长度相等. （　√　）
（2）若A，B，C三点共线，则 与 共线. （　√　）
（3）对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，则a∥c.
（　×　）
√
√
×
2. 化简 － ＋ 所得的结果是（　　）
C. 0
解析： 　 － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故
选C.
3. 已知非零空间向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b，
＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
解析： 　∵ ＝ ＋ ＝2a＋4b＝2 ，∴A，B，D三点
共线.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的概念辨析
【例1】　（多选）下列命题为真命题的是（　　）
A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 空间中任意两个单位向量必相等
解析： 　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅
模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题， 与 的方向相同，模也相等，故 ＝ ；C为
真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位
向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等.故选B、C.
通性通法
空间向量的概念辨析
　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相
关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模
相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反.
【跟踪训练】
如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和
终点的向量中：
（1）试写出与 是相等向量的所有向量；
解： 与向量 是相等向量（除它自身之
外）的有 ， ， ，共3个.
（2）试写出 的相反向量.
解： 向量 的相反向量为 ， ， ， .
题型二 空间向量的线性运算
【例2】　（链接教科书第6页例1）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，
化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
.
（2） － ＋ ；
解： － ＋ ＝ －（ － ）＝ － ＝ .
（3） ＋ ＋ （ － ）.
解： ＋ ＋ （ － ）
＝ ＋ （ ＋ ）
＝ ＋ .
设M是线段CB'的中点，
则 ＋ ＋ （ － ）
＝ ＋ ＝ .
向量 ， ， 如图所示.
通性通法
解决空间向量线性运算问题的方法
　　进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运
算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则
或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或
平行四边形中.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱
CC1的中点.若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　）
解析： 　由题意得 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋
＋ ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋ c.故选A.
2. 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，
点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是边
CD的中点，若 ＝ ＋x ＋y ，则x＝ ，y
＝ .
解析：画出如图所示图形，∵ ＝ － ＝
－ （ ＋ ）＝ － － ，∴x＝
y＝－ .
－ 　
－ 　
题型三 共线向量定理
【例3】　（链接教科书第7页例2）如图，四边形ABCD和ABEF都是
平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：
CE∥MN.
证明：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和
ABEF都是平行四边形，
∴ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ .　①
又∵ ＝ ＋ ＋ ＋
＝－ ＋ － － ，　②
①＋②得2 ＝ ，∴ ∥ .
又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN.
法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都
是平行四边形，
∴ ＝ －
＝ （ ＋ ）－
＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）
＝ （ － ）＝ （ － ）＝ .
∴ ∥ .
又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN.
通性通法
1. 判断两个非零向量共线的方法
判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝
λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将
目标向量化简或用同一组向量表达.
2. 证明空间三点P，A，B共线的方法
（1） ＝λ （λ∈R）；
（2）对空间任一点O， ＝ ＋t （t∈R）；
（3）对空间任一点O， ＝x ＋y （x＋y＝1）.
【跟踪训练】

解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）
e2]，又e1与e2不共线，所以
解得
－ 　
2. （2024·常州月考）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在
A1D1上，且 ＝2 ，F在对角线A1C上，且 ＝ .求
证：E，F，B三点共线.
证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，
因为 ＝2 ， ＝ ，
所以 ＝ ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ b，
＝ （ － ）＝ （ ＋ － ）
＝ a＋ b－ c，
所以 ＝ － ＝ a－ b－ c
＝ .
又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a
＝a－ b－c，
所以 ＝ ，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共
线.
1. 空间中任意四个点A，B，C，D，则 ＋ － ＝（　　）
解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ － ＝ .
2. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B. 若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C. 对于空间内任意一个向量a，存在λ∈R，使得λa＝0
解析： 　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A
错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量a，存在
实数λ＝0，使得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确.
3. （2024·淮安月考）设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝
e1＋ke2， ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共
线，则实数k的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 　∵ ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，∴ ＝ ＋
＝（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2.∵A，B，D三点共
线，∴ ＝λ ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋6e2）.∵e1，e2是不共
线向量，∴∴k＝1.
4. 在空间四边形ABCD中，连接AC，BD. 若△BCD是正三角形，且
E为其中心，则 ＋ － － 的化简结果为 .
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则 ＝
.故 ＋ － － ＝ ＋ － ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
0　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简（ － ）－（ － ）的结果是（　　）
A. 0
解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝0.
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2. 向量a，b互为相反向量，已知｜b｜＝3，则下列结论正确的是
（　　）
A. a＝b B. a＋b为实数0
C. a与b方向相同 D. ｜a｜＝3
解析： 　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，
故选D.
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3. （2024·南通月考）如图，在四面体ABCD中，设E，F分别是
BC，CD的中点，则 ＋ （ － ）＝（　　）
解析： 　因为 － ＝ ， （ － ）＝ ＝ ，所
以 ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ .故选C.
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4. 如果向量 ， ， 满足｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，那么
下列判断正确的是（　　）
解析： 　∵｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，∴A，B，C共线且
点C在AB之间，即 与 同向.故选D.
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5. （多选）下列命题是真命题的是（　　）
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解析： 　对选项A，由点A，B，C，D在一条直线上，可得
， 的方向相同或相反，所以 与 一定是共线向量，
故A为真命题；对选项B，由点A，B，C，D不在一条直线上，
则 ， 的方向不确定，所以不能判断 与 是否为共线
向量，故B为假命题；对选项C， ， 两向量所在的直线是
否有公共点不确定，所以四点不一定在同一条直线上，故C为
假命题；对选项D，由 ， 两向量所在的直线至少有一个
公共点A，且 与 是共线向量，所以三点一定共线，故D为
真命题.故选A、D.
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6. （多选）（2024·扬州月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
下列各式中运算的结果为 的是（　　）
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解析： 　对于选项A，（ － ）－ ＝ － ＝
；对于选项B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ；
对于选项C，（ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；对于选项
D，（ － ）－ ＝（ － ）－ ＝ ＋
＝ ，故选A、B、C.
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7. 如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中， 与 是 向量，
与 是 向量.（用相等、相反填空）
解析：由相等向量与相反向量的定义知： 与 是相等向量，
与 是相反向量.
相等　
相反　
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8. 设e1，e2是不共线的空间向量，已知 ＝2e1＋ke2， ＝e1＋
3e2， ＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为 .
解析：因为 ＝ － ＝e1－4e2， ＝2e1＋ke2，又A，
B，D三点共线，且e1与e2不共线，故由向量共线的充要条件得
＝ ，所以k＝－8.
－ 8
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9. （2024·盐城月考）已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且
＋ ＝ ＋ ，则四边形ABCD的形状是 .
解析：由已知可得 ＝ ，由相等向量的定义可知，四边形
ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形　
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10. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列
各式，并在图中标出化简得到的向量.
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： 因为M是BB1的中点，
所以 ＝ ＝ .
所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
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（3） － － .
解： － － ＝ － ＝
.
向量 ， ， 如图所示.
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11. （2024·镇江月考）在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝
2MA，N为BC的中点.若 ＝ ＋ ＋ ，则使G，
M，N三点共线的x的值是（　　）
A. 1 B. 2
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解析： 　由题意得 ＝ （ ＋ ）， ＝ ，所以
＝ · ＋ ·2 ＝ ＋ .因为G，M，N三点共
线，所以设 ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），即
＝（1＋λ）· －λ ，所以解得
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12. （多选）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与
B1D1的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与
共线的向量是（　　）
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解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）
＝c＋ （－a＋b）＝－ a＋ b＋c， a－ b－ c＝－ （－
a＋ b＋c），所以与 共线的向量是－ a＋ b＋c和 a－ b
－ c.
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13. 设G为△ABC的重心，O为△ABC所在平面外一点，设 ＝a，
＝b， ＝c，试用a，b，c表示 ＝
.
解析：如图所示.∵ ＝ ＋ （D为BC边的
中点）， ＝ （ ＋ ）＝ （b＋c），
＝ ＝ ＝－ [（b－a）＋
（c－a）]＝－ （b＋c）＋ a，∴ ＝ （b＋
c）－ （b＋c）＋ a＝ （a＋b＋c）.
（a＋b＋
c）　
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14. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a，
＝b， ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用
a，b，c表示以下各向量：
（1） ；
解： ∵P是C1D1的中点，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝a＋ ＋
＝a＋c＋ ＝a＋c＋ b.
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（2） ；
解： ∵N是BC的中点，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝－a＋b＋
＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋ c.
（3） .
解： ∵M是AA1的中点，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋
＝－ a＋ ＝ a＋ b＋c.
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15. （2024·宿迁月考）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，
E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的
点，且 ＝ ， ＝ .求证：四边形EFGH是梯形.
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证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴ ＝ ， ＝ ，
则 ＝ － ＝ － ＝
＝ （ － ）＝
＝ （ － ）＝ ，
∴ ∥ 且｜ ｜＝ ｜ ｜≠｜ ｜.
又点F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
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