资源简介 6.2 空间向量的坐标表示6.2.1 空间向量基本定理1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A.b＋c，b，b－c B.b，a＋b，a－bC.a＋b，a－b，c D.a＋b，a＋b＋c，c3.（2024·宿迁月考）若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为（ ）A.0，0，1 B.0，0，0C.1，0，1 D.0，1，04.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（ ）A.a＋b＋c B.a＋b－cC.－a＋b＋c D.a－b＋c5.（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）A.{，，}不能构成空间的一个基底B.{，，}能构成空间的一个基底C.{，，}不能构成空间的一个基底D.{，，}能构成空间的一个基底6.（多选）（2024·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（ ）A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB17.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为 .8.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为 .9.（2024·镇江月考）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值为 .10.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c.（1）用a，b，c表示向量；（2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.11.已知＝－3a－3b＋3c，＝5a＋3b－5c，＝a＋b－c，其中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.平行或重合12.（2024·扬州质检）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则（x，y，z）＝（ ）A. B.C. D.13.（2024·盐城月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则｜｜＝ .14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点.（1）求A1B和B1C的夹角；（2）求证：AC1⊥EF.15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值.6.2.1 空间向量基本定理1.B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成基底，否则不能构成基底.当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p / q，q p.2.C 对于A选项，b＝（b＋c）＋（b－c），所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B选项，b＝（a＋b）－（a－b），所以b，a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用反证法可证得a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D选项，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面.故选C.3.B 若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.4.C ＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C.5.AC 由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.6.ACD 依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D.7.a－b＋c 解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c.8.4（a＋b）－（a－b）＋3（3c） 解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋z（3c），则有解得则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）.9.0 解析：根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0.10.解：（1）＝＋＝－＋＝b－a＋c.（2）＝＋＝－＋＝－（＋）＋（＋）＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c）＝（c－b）.11.B 因为＝－3，所以A，B，C，D四点共面.因为＝＋＋＝3a＋b－3c，所以对 λ∈R，≠λ，所以直线AD与BC不平行，故直线AD与BC相交.12.A 如图所示，连接AG1并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故选A.13. 解析：设＝a，＝b，＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.易得＝（－a＋b＋c），所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2＝[a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝，所以｜｜＝.14.解：（1）设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－c，｜｜＝，＝＝－＝b－c，｜｜＝，∴·＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，∴cos＜，＞＝＝＝.又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝，∴A1B和B1C的夹角为.（2）证明：∵＝a＋b＋c，＝＝＝（－）＝（b－c），·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝（a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）＝（0－0＋1－0＋0－1）＝0，∴⊥，∴AC1⊥EF.15.证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令{，，}为空间的一个基底.＝＝（＋）＝＋×＝＋×（＋）＝＋（－）＋（－）＝＋＋.连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ（－）＋μ（－），所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt.由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值.3 / 36.2.1 空间向量基本定理新课程标准解读 核心素养1.理解空间向量基本定理及其推论 数学抽象、直观想象2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量 数学运算3.会用向量基底法求解简单的几何问题 数学运算、逻辑推理 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.【问题】 （1）e1，e2，e3共面吗？（2）如何用e1，e2，e3表示向量？ 知识点一 空间向量基本定理1.定理：如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使p＝ ，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3叫作 .2.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得＝ .【想一想】1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？知识点二 正交基底与单位正交基底1.正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底.2.单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）空间向量的基底是唯一的.（ ）（2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量.（ ）（3）已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面.（ ）2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（ ）A.，， B.，，C.，， D.，，3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝（ ）A.i＋j＋k B.i＋j＋kC.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k题型一 基底的判断【例1】 （链接教科书第20页练习1题）（多选）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（ ）A.{a，a－2b，2a＋b} B.{b，b＋c，b－c}C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a}通性通法判断基底的基本思路（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【跟踪训练】1.若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，构成空间一个基底的关系是（ ）A.＝＋＋B.≠＋C.＝＋＋D.＝2－2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.题型二 用基底表示空间向量【例2】 （链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.通性通法用基底表示向量的策略（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；（2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.【跟踪训练】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量，，表示和.题型三 空间向量基本定理的应用【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC所成角的余弦值.通性通法用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤 首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.【跟踪训练】 （2024·扬州月考）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.（1）证明：A，E，C1，F四点共面；（2）若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.1.（多选）下列结论正确的是（ ）A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面2.（2024·盐域月考）若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（ ）A.a B.bC.c D.2a3.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ .（用a，b，c表示）4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1.6.2.1 空间向量基本定理【基础知识·重落实】知识点一1.不共面 唯一 xe1＋ye2＋ze3 基底 基向量 2.x＋y＋z想一想1.提示：不可以.2.提示：对.自我诊断1.（1）× （2）√ （3）√2.C 由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底.3.C 因为＝＋＋＝＋＋，所以＝3i＋2j＋5k，故选C.【典型例题·精研析】【例1】 ABC 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面.跟踪训练1.C A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题意，故选C.2.解：设＝x＋y，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3），即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，所以此方程组无解.即不存在实数x，y，使得＝x＋y，所以，，不共面，所以{，，}能作为空间的一个基底.【例2】 解：＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋＋＝（a＋b＋c）.连接A'N（图略），＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c.跟踪训练 解：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋.＝＋＝＋＋＋＝＋＋.【例3】 解：（1）设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝.｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，所以｜｜＝，即AC1的长为.（2）＝b＋c－a，＝a＋b，所以｜｜＝，｜｜＝，·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.所以cos＜，＞＝＝.所以AC与BD1所成角的余弦值为.跟踪训练 解：（1）证明：∵＝＋＋＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋，∴，，共面，又它们有公共点A，∴A，E，C1，F四点共面.（2）∵＝－＝＋－（＋）＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.随堂检测1.ABD 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.2.C 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C.3.a＋b＋c 解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c.4.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝b＋c.所以·＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c.因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以a·b＝0，a·c＝0，得·＝0，故AB⊥AC1.4 / 4(共59张PPT)6.2.1 空间向量基本定理新课程标准解读 核心素养1.理解空间向量基本定理及其推论 数学抽象、直观想象2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量 数学运算3.会用向量基底法求解简单的几何问题 数学运算、逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.【问题】 （1）e1，e2，e3共面吗？（2）如何用e1，e2，e3表示向量 ？ 知识点一 空间向量基本定理1. 定理：如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使p＝ ，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3叫作 .不共面 唯一 xe1＋ye2＋ze3 基底 基向量 2. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 ＝ .x ＋y＋z 【想一想】1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以.2. 在四棱锥O-ABCD中， 可表示为 ＝x ＋y ＋z 且唯一，这种说法对吗？提示：对.知识点二 正交基底与单位正交基底1. 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底.2. 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）空间向量的基底是唯一的. （ × ）（2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量. （ √ ）（3）已知A，B，M，N是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面. （ √ ）×√√2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（ ）解析： 由题意知 ， ， 不共面，可以构成空间向量的一个基底.3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若 ＝3i， ＝2j， ＝5k，则 ＝（ ）A. i＋j＋kC. 3i＋2j＋5k D. 3i＋2j－5k解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以＝3i＋2j＋5k，故选C.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 基底的判断【例1】 （链接教科书第20页练习1题）（多选）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（ ）A. {a，a－2b，2a＋b}B. {b，b＋c，b－c}C. {2a－3b，a＋b，a－b}D. {a＋b，b－c，c＋2a}解析： 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面.通性通法判断基底的基本思路（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【跟踪训练】1. 若向量 ， ， 的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 ，， 构成空间一个基底的关系是（ ）解析： A中，因为 ＋ ＋ ＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意；B中， ≠ ＋ ，但可能 ＝λ ＋μ ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为 ＝2 － ，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题意，故选C.2. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ ， ， }能否作为空间的一个基底.解：设 ＝x ＋y ，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3），即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，所以此方程组无解.即不存在实数x，y，使得 ＝x ＋y ，所以 ， ， 不共面，所以{ ， ， }能作为空间的一个基底.题型二 用基底表示空间向量【例2】 （链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知 ＝a， ＝b， ＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量 ， .解： ＝ ＋＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋＝ ＋ （ － ）＋＝ ＋ ＋＝ （a＋b＋c）.连接A'N（图略），＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c.通性通法用基底表示向量的策略（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；（2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.【跟踪训练】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量 ， ， 表示 和 .解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋（ － ）＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ . ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .题型三 空间向量基本定理的应用【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.（1）求AC1的长；解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝ .｜ ｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（ ＋ ＋ ）＝6，所以｜ ｜＝ ，即AC1的长为 .（2）求BD1与AC所成角的余弦值.解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ .所以AC与BD1所成角的余弦值为 .通性通法用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤 首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.【跟踪训练】 （2024·扬州月考）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1.（1）证明：A，E，C1，F四点共面；解： 证明：∵ ＝ ＋ ＋ ＝＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋（ ＋）＝ ＋ ，∴ ， ， 共面，又它们有公共点A，∴A，E，C1，F四点共面.（2）若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z.解： ∵ ＝ － ＝ ＋ －（ ＋ ）＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ，又 ＝x ＋y ＋z ，∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ .1. （多选）下列结论正确的是（ ）A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底解析： 由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.2. （2024·盐域月考）若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（ ）A. a B. bC. c D. 2a解析： 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝ [（a＋b）＋（a－b）]＝ m＋ n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝ [（a＋b）－（a－b）]＝ m－ n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D. 故选C.3. 在四面体OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝ .（用a，b，c表示）解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ×（ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c.a＋ b＋ c 4. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1.证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ ＋ ＝b＋c.所以 · ＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c.因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以a·b＝0，a·c＝0，得 · ＝0，故AB⊥AC1.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1234567891011121314151. 设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成基底，否则不能构成基底.当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p / q，q p.2. 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A. b＋c，b，b－c B. b，a＋b，a－bC. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c123456789101112131415解析： 对于A选项，b＝ （b＋c）＋ （b－c），所以b＋c，b，b－c三个向量共面；对于B选项，b＝ （a＋b）－ （a－b），所以b，a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用反证法可证得a＋b，a－b，c三个向量不共面；对于D选项，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面.故选C.1234567891011121314153. （2024·宿迁月考）若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为（ ）A. 0，0，1 B. 0，0，0C. 1，0，1 D. 0，1，0解析： 若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－ b－ c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.1234567891011121314154. 已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足 ＝ ，N是BC的中点，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 为（ ）解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝－ ＋ ＋ ＝－ a＋ b＋ c.故选C.1234567891011121314155. （多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）123456789101112131415解析： 由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C.1234567891011121314156. （多选）（2024·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（ ）A. A1M∥D1PB. A1M∥B1QC. A1M∥平面DCC1D1D. A1M∥平面D1PQB1123456789101112131415解析： 依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋＝ ＋ ，所以 ＝ ，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D.1234567891011121314157. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 用a，b，c表示为 .解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴b－a＝－2（ －c），∴ ＝ a－ b＋c.a－ b＋c 1234567891011121314158. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为 .4（a＋b）－（a－b）＋3（3c） 解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋z（3c），则有解得则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）.1234567891011121314159. （2024·镇江月考）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值为 .0 解析：根据题意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝－ － ＝ ×4－1－ ×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0.12345678910111213141510. 已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中， ＝a， ＝b， ＝c.（1）用a，b，c表示向量 ；解： ＝ ＋ ＝ － ＋＝b－a＋c.123456789101112131415（2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示 .解： ＝ ＋ ＝－ ＋＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝－ （a＋b＋c＋b）＋ （a＋b＋c＋c）＝ （c－b）.12345678910111213141511. 已知 ＝－3a－3b＋3c， ＝5a＋3b－5c， ＝a＋b－c，其中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置关系是（ ）A. 平行 B. 相交C. 异面 D. 平行或重合解析： 因为 ＝－3 ，所以A，B，C，D四点共面.因为＝ ＋ ＋ ＝3a＋b－3c，所以对 λ∈R，≠λ ，所以直线AD与BC不平行，故直线AD与BC相交.12345678910111213141512. （2024·扬州质检）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若 ＝x ＋y ＋z ，则（x，y，z）＝（ ）123456789101112131415解析： 如图所示，连接AG1并延长交BC于点E，则点E为BC的中点， ＝ （ ＋ ）＝ （ －2 ＋ ）， ＝ ＝ （－2 ＋ ），∵ ＝3 ＝3（ － ），∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故选A.12345678910111213141513. （2024·盐城月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则｜ ｜＝ . 123456789101112131415解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1× cos 60°＝1.易得 ＝ （－a＋b＋c），所以｜ ｜2＝ （－a＋b＋c）2＝ [a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝ ×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝ ，所以｜ ｜＝ .12345678910111213141514. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点.（1）求A1B和B1C的夹角；解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ － ＝a－c，｜ ｜＝ ，＝ ＝ － ＝b－c，｜ ｜＝ ，∴ · ＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，123456789101112131415∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .又＜ ， ＞∈[0，π]，∴＜ ， ＞＝ ，∴A1B和B1C的夹角为 .123456789101112131415（2）求证：AC1⊥EF.解： 证明：∵ ＝a＋b＋c， ＝ ＝＝ （ － ）＝ （b－c），· ＝（a＋b＋c）· （b－c）＝ （a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）＝ （0－0＋1－0＋0－1）＝0，∴ ⊥ ，∴AC1⊥EF.12345678910111213141515. 如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝t ，求证： ＋ ＋ 为定值，并求出该定值.123456789101112131415证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令{ ， ， }为空间的一个基底.＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＋ × ＝ ＋ ×（ ＋ ）＝ ＋ （ － ）＋ （ － ）＝＋ ＋ .123456789101112131415连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得 ＝λ ＋μ ，即 － ＝λ（ －）＋μ（ － ），所以 ＝（1－λ－μ） ＋λ＋μ ＝（1－λ－μ）m ＋λn ＋μt .由空间向量基本定理，知 ＝（1－λ－μ）m， ＝λn， ＝μt，所以 ＋ ＋ ＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值.123456789101112131415谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.2.1 空间向量基本定理.docx 6.2.1 空间向量基本定理.pptx 6.2.1 空间向量基本定理（练习，含解析）.docx
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