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《第二章 特殊三角形单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A C D C A C
1．C
本题考查了轴对称图形的定义；
平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．C
本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比．
解：当为腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：C．
3．B
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．
解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，互逆定理的定义等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
根据全等三角形的判定方法、等腰三角形的性质、互逆定理的定义逐项分析判断即可．
解：A． 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如边长为的等边三角形与边长为的等边三角形，
所以原命题是假命题，故选项不符合题意；
B． 等腰三角形的底角必为锐角，该命题是真命题，故选项符合题意；
C． 等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，原命题是假命题，故选项不符合题意；
D． 每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等，但相等的角不一定是对等角，所以原命题是假命题，故选项不符合题意；
故选：．
5．A
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．
解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
故选：A．
6．C
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：，
，
∵D是的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：C．
7．D
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键．
根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
②∵，
∴最大角，
故②正确
③∵，
∴，
∴，
故③正确
④∵，
∴，
∴，
故④正确
综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个．
故选：D．
8．C
本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题的关键．
设，，建立关于a、b的关系，最后求面积即可．
解：设，，则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
9．A
本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理．由勾股定理求出，由垂直平分线的性质可得，则，再由勾股定理可得到的长．
解：∵ 在 中，， ，
∴，
∵ 是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴在 中，，
故选： A．
10．C
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找出边和角之间的相等关系，根据边角之间的相等关系判断两三角形全等，利用全等三角形的性质证明结论是否成立．
解：，
，
平分，
，
在和中，，
，
平分，
故正确；
在中，，
，
，
，
，
，
故正确；
若平分，
则有，
只有当时，平分，
若，则不平分，
故不正确；
由可知，
，
，
，
故正确；
综上所述，错误的是．
故选：C．
11．①③/③①
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，筝形的对称性，解决本题的关键是判断出．用直接判断出，逐个分析选项，即可得出结论．
解：在和中，，
，
，，，
平分．
筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线所在直线，
与不一定相等，
①③正确，
故答案为：①③．
12．或
本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
当是底角时，顶角的度数为；
当是顶角时，顶角度数即为．
故答案为：或．
13．
本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可．
解：连接，
∵的垂直平分线交于点M，交于点N，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小为的长，
∵，D为底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
14．/度
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，于是得到，在中利用三角形内角和定理可求出．
解：，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
15．或
本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ，正确进行分类讨论是解题关键．
分为两种情况，画出图形，先求得再根据角度关系求出的度数，即可得出答案．
解：分为两种情况：①如图，
为边上的高，
，
，
∴，
∵，
；
②如图，
同理可得：，
∵，
．
故答案为：或．
16．①③④
结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②不正确；由三线合一定理可证③正确；由及平分可证④正确．
解：平分，平分，
，，
，，
即，，
，故①正确；
如答图，过点作于点，于点，于点，
平分，平分，
，
平分，
，故②不正确；
，平分，
垂直平分，故③正确；
，
，
平分，
，
，故④正确．
综上，正确的是①③④．
故答案为：①③④．
本题考查的知识点是角平分线定义、外角性质、角平分线的判定与性质、三线合一定理、平行线性质，解题关键是熟练掌握角平分线的判定与性质．
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
（）根据三角形高的定义作图即可；
（）过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交垂线于点，连接、，则即为所求即可；
本题考查了作三角形高，作轴对称图形，掌握三角形高的定义及轴对称的性质是解题的关键．
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．见解析
本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定，根据等腰直角三角形的定义得出，，，根据等式的性质得出，然后根据证明即可．
证明∶∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
19．见解析
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题关键，连结，过点D作交于点M，再作交于点N．结合等边三角形性质证明，得出，进一步证明，即可得出结论．
证明：连结，过点D作交于点M，再作交于点N．
是等边三角形，D为的中点，
是的平分线，，
．
又，
，
．
在和中，
，
，
．
在与中，
，
，
．
20．见解析
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
21．见解析
只需证明即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
证明：∵，平分，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∵点C在直线上，
∴，
∴是等腰三角形．
22．
本题考查角平分线的定义，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质．
先由角平分线得到，由垂直得到，从而根据直角三角形两锐角互余得到，再根据三角形外角的性质即可求解．
解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
本题考查的是三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用，
（1）连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（2）先证明，得到，再根据线段和差求出，进而得到，再用勾股定理求解即可．
（1）证明：连接，
的平分线与的垂直平分线相交于点，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
∵是的角平分线，
∴
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，
设，
，
∴，，
，
解得：，
，
，
在中，，
．
24．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证；
（3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解．
（1）解：∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：如图，作于，于，
，
由（1）可得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，即平分；
（3）解：如图，作交的延长线于，
，
∵、均为等边三角形，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第二章 特殊三角形单元测试·巩固卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 0
较易 10
适中 14
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 轴对称图形的识别
2 0.85 等腰三角形的定义
3 0.85 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形的外角的定义及性质
4 0.85 判断命题真假；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）；等腰三角形的性质和判定
5 0.85 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
6 0.65 等边三角形的判定和性质；斜边的中线等于斜边的一半；三角形内角和定理的应用；等边对等角
7 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
8 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；完全平方公式在几何图形中的应用
9 0.65 线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
10 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 全等的性质和SSS综合（SSS）；轴对称图形的识别
12 0.85 等腰三角形的定义；三角形内角和定理的应用
13 0.65 线段垂直平分线的性质；三线合一
14 0.65 三角形内角和定理的应用；等边对等角；等腰三角形的性质和判定
15 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
16 0.65 角平分线的性质定理；三角形的外角的定义及性质；角平分线的判定定理；三线合一
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 画三角形的高；画轴对称图形
18 0.85 用SAS证明三角形全等（SAS）；等腰三角形的定义
19 0.85 全等三角形综合问题；等边三角形的性质
20 0.85 三角形的外角的定义及性质；等腰三角形的性质和判定
21 0.65 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；线段垂直平分线的判定
22 0.65 直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
23 0.65 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质
24 0.65 全等三角形综合问题；等边三角形的性质；角平分线的判定定理2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角
C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理
5．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
9．如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（ ）
A． B． C． D．4
10．如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）．
①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线．
12．等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是 ．
13．如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ．
14．如图，在三角形中，已知，为边上的一点，且，，则等于 ．
15．已知，在中，，是边上的高，若，则 ．
16．如图，的内角与外角的平分线相交于点，为的延长线上一点，，交于点，交于点，连结、．给出下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，已知钝角三角形，．按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）．
(1)作边上的高；
(2)作关于所在直线对称的，点的对应点为（选择一种作图方式即可）．
18．如图，和都是等腰直角三角形，求证：．
19．如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：．
20．如图所示，P、Q是的边边上的两点，且，求证：是等腰三角形．
21．如图，中，，平分，交于点．求证：是等腰三角形．
22．如图，平分，交于点E，于点D，，，求的度数．
23．如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
24．如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N．
(1)求度数；
(2)连接，求证：平分；
(3)若，，，求的值．

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