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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列黑体字中是轴对称图形的是（ ）
A．山 B．秀 C．水 D．清
2．如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　）
A．4或6 B．5 C．4 D．6
4．已知a，b，c分别为的三条边，下列条件能判断不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，为边上的高，，，则是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
6．如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
8．如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．条件不足，无法计算
9．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ．
12．如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是、边上的动点，连接、，、，与相交于点F且．其中结论正确的是 ．（填序号）
①是等腰三角形；②；③；④四边形的面积不发生改变
13．如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ．
14．如图，在和中，，，连接，连接并延长交于点，且恰好平分；有以下四个结论：①是等腰三角形；②③④和全等；这四个结论中正确的是 ．
15．如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为 ．
16．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上．
18．如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求．
20．先尺规作图，后进行计算：如图，中，．
(1)试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
21．如图，在等腰三角形中，，是它的一条中线，与全等吗？为什么？
22．如图，交于点，，点在线段上，且，，连接． 若，，求的度数．
23．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)设，求的度数（用含的式子表示）；
(3)判断，，之间的数量关系，并证明．
24．已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、．
(1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系．
(2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数．
(3)线段从图2的位置出发，绕着点A顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，求证①，②．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第二章 特殊三角形单元测试·过关卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 3
适中 18
较难 3
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.65 轴对称图形的识别
2 0.85 等边对等角
3 0.85 三角形三边关系的应用；等腰三角形的定义
4 0.65 三角形内角和定理的应用；判断三边能否构成直角三角形
5 0.65 与三角形的高有关的计算问题；三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
6 0.65 角平分线的性质定理；线段垂直平分线的判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
7 0.65 线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定和性质；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
8 0.65 作角平分线(尺规作图)；线段垂直平分线的性质；等边对等角
9 0.4 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)；等边三角形的性质；等边对等角
10 0.4 三角形的外角的定义及性质；角平分线的判定定理；与角平分线有关的三角形内角和问题；角平分线的性质定理
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 斜边的中线等于斜边的一半
12 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
13 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理
14 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；三角形内角和定理的应用；等腰三角形的性质和判定
15 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
16 0.65 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理的应用；等腰三角形的定义
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
18 0.65 等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；线段垂直平分线的性质
19 0.65 角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余；三角形内角和定理的应用
20 0.65 作角平分线(尺规作图)；作垂线(尺规作图)；角平分线的判定定理；等边对等角
21 0.65 用SSS证明三角形全等（SSS）；三线合一
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；两直线平行内错角相等；三角形的外角的定义及性质
23 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；三角形内角和定理的应用；画轴对称图形
24 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的判定和性质；全等的性质和SAS综合（SAS）《第二章 特殊三角形单元测试·过关卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C B C B A C
1．A
此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可求解．
解：根据轴对称图形的意义可知：A选项符合轴对称图形定义，B、C、D项不符合，
故选：A；
2．B
本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解．
解：∵是等腰三角形，，，
，
故选：B．
3．C
本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可．
解：当为等腰三角形时，
∴或；
当时
满足，
在满足；
当时，
在中，，不满足条件，舍掉；
∴；
故选：C．
4．A
根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理对每个选项进行分析判断．本题主要考查了直角三角形的判定方法，熟练掌握三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：A、，三角形内角和为
，，
该三角形不是直角三角形．
B、
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形．
C、
三角形内角和为
该三角形是直角三角形．
D、，设，，
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形．
故选：A．
5．C
本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
解：如图，当为锐角三角形时，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴；
如图，当为钝角三角形时，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴；
综上，的度数是或．
故选：C．
6．B
本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，先利用角平分线的性质可判定①，证明可判断②，利用线段的垂直平分线的判定可判定③④，从而可得答案.
解析：平分，，，、为垂足，
，故①正确；
平分，
，
在与中，
，
，故②正确；
，，
垂直平分，故③正确；
与，与不一定相等，
不一定垂直平分，故④错误；
综上所述，①②③共3个正确．
故答案为：B．
7．C
本题考查了等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，连接，，由，，则，又垂直平分，垂直平分，故有，，所以，，通过外角性质可得，证明是等边三角形，最后通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接，，
∵，，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：．
8．B
本题主要考查长方形，尺规作图——作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握长方形的性质，角平分线和线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，是解题的关键
根据长方形性质得，，得，根据角平分线定义，线段垂直平分线段性质，，，得，即可求得．
解：∵长方形中，，，
∴，
根据尺规作图的痕迹知，射线为的角平分线，
∴，
∵点E在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．A
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解．
解：如图，将绕点逆时针旋转，
∵是等腰三角形，，
∴与重合，，
∴，
∴，，，
∵是边长为3的等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点在同一条直线上，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴，
∴的周长为
，
故选：A．
10．C
根据，，分别平分，，，可以分别设，，，利用三角形内角和定理与外角定理以及平行线的性质分别求出：，，可判断①错误，③正确；利用三角形内角和定理可得出，从而得到，故②正确；然后利用角平分线的性质和判定证明是角平分线，继而可求出，进而求出，从而得到④正确．
解：如图所示：
∵平分，平分，
∴令，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故①错误；③正确；
∵平分，
∴令，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
过点D作分别交、、于点G、M、N，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
综上可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
本题主要考查了三角形外角定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及角平分线的性质与判定等知识．解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，以及角平分线的性质与判定快速得到也是角平分线．
11．
此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解.
根据已知分别求出，，，发现变化规律即可.
在中，点为中点，，
∴，
在中，点为中点，，
∴，
同理
…，
∴
当时，
故答案为: .
12．①②③④
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.
由等腰直角三角形的性质，利用证明判断①；由等腰直角三角形的性质得出， 由三角形的外角性质得出， 判断②； 由全等三角形的性质得出，即可得到， 由勾股定理得出，判断③；证出判断④即可得出结论．
解：∵，，
∴，
又∵是的中点，
，，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形， ①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴， ②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
，③正确；
∵，
∴，
即四边形的面积不发生改变，④正确；
正确的结论有个，
故答案为：①②③④．
13．
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，得到的周长等于是解题的关键．
根据角平分线的性质可得，再利用“”证明可得，然后求出的周长等于即可．
解：∵，平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长，
∵的周长为，
∴．
故答案为．
14．①②④
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据角分线的性质以及等腰三角形的性质可得角度，证明出≌是解决本题的关键．
由，，可求解的度数，再结合角平分线的性质即可求解的度数，由此可判断①；由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可判断②和④；假设成立，求出角度，根据“同位角相等，两直线平行”得到与已知矛盾的结论可判断③．
解：在中，，，
∴，
又，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故①正确；
∵
∴，
∴，
∵，
在与中，
由，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
由②知，≌，故④正确；
假设，
∵，，
∴，
若，
则，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，与已知矛盾，故③错误；
∴这四个结论中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
15．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，，再根据三角形内角和定理计算即可．
解：垂直平分，
，
，
∵垂直平分，
∴，
∴，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
∵点为的外心，，，
∴点P为三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
17．见解析
此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．
先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明．
证明：∵边的垂直平分线交于点P，
∴．
∴．
∴点P必在的垂直平分线上．
18．(1)见解析
(2)
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）若点是的中点，则垂直平分可得，进而得到，则是等边三角形，即可证明结论；
（2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，运用勾股定理列方程求解即可．
（1）证明：∵点D是的中点，是边上的高．
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：设，则，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴．
19．
本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形高的定义得出，由进而得出，根据平分，得出，根据三角形内角和进而求得，即可求解．
解：是边上的高，
，
，
，
平分，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线和角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）点到、两点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两边的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P位置；
（2）由题意得，，则，求出，由题意可得点P在的角平分线上，则；由三角形内角和定理可得，则．
（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵点到、两点的距离相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点P到两边的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
∴；
∵，，
∴，
∴．
21．，理由见解析
本题考查了全等三角形的判定， 先根据中线结合等腰三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定（）即可求解．
解：，
理由∶∵为中线，
∴，
∵，，
∴
22．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，先证明，得到，，即得，再得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)
(3)，见解析．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论；
（3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论；
（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）；
证明：如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
24．(1)
(2)
(3)①见解析②见解析
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）延长，交的延长线于点E，可证得，从而，从而得出；
（2）延长，截取，连接，可证得，从而，根据导角可推出，进而证得，从而，进而得出是等边三角形，进一步得出结果；
（3）解题思路同（2）
（1）解：，
如图1，延长，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，延长，截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）证明：①当点在下方，且使线段同时落在和的内部，延长，截取，连接，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴；
②
．

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