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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列腾讯QQ表情中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为7，底角为．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（ ）
A．三条边长分别是7，5，5
B．两个角是，它们的夹边为7
C．两条边长分别为5，7，它们的夹角为
D．两条边长是5，一个角是
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
7．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ．
12．如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为
13．如图，在中，，是的角平分线，于点E．
（1）若，则 ，
（2）若，，则 ．
14．如图，，，，则的度数是 ．
15．如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则 ．
16．如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法）
18．等腰三角形中，周长为．
(1)如果腰长是底边长的倍，求各边长；
(2)如果一边长为，求另两边长．
19．如图，在中，，，点为内一点，，，的平分线交的延长线于点，连接．
(1)的度数为________，的度数为________；
(2)求证：．
20．已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．
(1)若，求的度数：
(2)若，，求证：．
21．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、．
(1)若的周长是14，的长是3，求的周长；
(2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上．
22．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数．
23．如图，在中，点D是的中点，，交的平分线于点E，垂足为F，，交的延长线于点G，试判断线段、有何关系，并说明理由．
24．如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动．且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
(3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第二章 特殊三角形单元测试·培优卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
较易 2
适中 18
较难 4
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.65 轴对称图形的识别
2 0.85 用SAS证明三角形全等（SAS）；等腰三角形的定义；用SSS证明三角形全等（SSS）；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
3 0.65 三角形内角和定理的应用；等边对等角
4 0.65 作线段(尺规作图)；等边三角形的判定和性质
5 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
6 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段垂直平分线的判定
7 0.65 直角三角形的两个锐角互余；全等的性质和SAS综合（SAS）
8 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形；根据等角对等边证明边相等
9 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理；角平分线的判定定理
10 0.4 等边三角形的判定和性质；折叠问题；三角形内角和定理的应用；全等的性质和HL综合（HL）
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 构成三角形的条件；等腰三角形的定义
12 0.65 三角形内角和定理的应用；线段垂直平分线的性质；等边对等角
13 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
14 0.65 两直线平行同位角相等；直角三角形的两个锐角互余；垂线的定义理解
15 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三线合一；用勾股定理解三角形
16 0.65 角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形；全等的性质和HL综合（HL）；根据等角对等边求边长
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 作角平分线(尺规作图)；作已知线段的垂直平分线；根据成轴对称图形的特征进行求解
18 0.65 三角形三边关系的应用；等腰三角形的定义；几何问题(一元一次方程的应用)
19 0.65 全等三角形综合问题；等边对等角；三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质
21 0.65 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
22 0.65 角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
23 0.65 角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；全等的性质和HL综合（HL）
24 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；几何问题(一元一次方程的应用)《第二章 特殊三角形单元测试·培优卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C C B D A D
1．C
本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意误；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．D
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的定义．结合等腰三角形的定义，判断三角形是否全等，即可得到答案．
解：A、两个三角形三边分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意；
B、两个三角形的两个角及夹边分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意；
C、两个三角形的两条边及夹角分别相等，可利用“”证明全等，本选项不符合题意；
D、两个三角形两条边相等，但一对相等的角不是夹角，不能证明全等，本选项符合题意；
故选：D．
3．D
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数．
解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，
高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为，
所以该等腰三角形的顶角为或，
故选：D．
4．D
本题考查了等边三角形的判定与性质，基本作图．
根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解．
解：如图所示，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：D．
5．C
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论②；根据上述证明，设，则，，，可判定结论③；根据题意可证，得到，结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④；由此即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确；
如图所示，过点作于点

由①的证明可得，，则，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
由上述证明，设，则，，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
由①可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故选：C ．
6．C
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④．
解：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①②正确；
∴垂直平分，故③正确；
根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误；
故选：C．
7．B
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：如图，在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8．D
本题可通过构造全等三角形，将所求线段BD转化到直角三角形中，利用勾股定理求解．作辅助线构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再结合勾股定理计算BD的长度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS）和勾股定理是解题的关键．
解： 作 ，使 ，连接 ，．
∵ ，，
∴ ，．
∵ ，
∴ ，．
又∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
在 中，，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：D．
9．A
本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，延长与交于点，证明得到，，结合，得到垂直平分，则，即可得到．
解：延长与交于点，
∵，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案．
解：如图，连接，过点作于E，于F，
则，
由折叠可知，，
，
是等边三角形，
，
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
，
，
故选：D．
本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．12
本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键．
分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。
解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5，
∵，
∴不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2，
∵，
∴能构成三角形；
∴等腰三角形的周长．
综上所述：等腰三角形的周长为12.
故答案为：12．
12．/50度
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用．利用垂直平分线的性质求，则，，则，再利用三角形的内角和计算．
解：、的垂直平分线分别交于点、，
，则，
设度，
，则，
设，
，
，
根据三角形内角和定理，，
解得．
故答案为：．
13． 12
（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答．
（2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答．
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故答案为：；
（2）是的角平分线，
，
∵，
∴，
依题意，延长交于
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：12．
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14．
本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，由垂直的定义得，继而得到．解题的关键是掌握：直角三角形两锐角互余．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数是．
故答案为：．
15．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．连接，证明，得，从而求得的长；由面积法求得的长，由勾股定理求得的长，最后即可求得的长．
解：如图，连接，
∵平分，
∴；
∵，是边上的中线，
∴，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得：；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
故答案为：．
16．5
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点．过P作于E，求出，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，即可得到的长．
解：过P作于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
∴，
故答案为：5．
17．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键．
（1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图；
（2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图．
（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l，
则直线l即为所求．
（2）解：如图②，作的平分线，
则的平分线所在的直线m即为所求．
18．(1)，，
(2)，
本题考查了等腰三角形概念，三角形的三边关系定理，解一元一次方程的应用．注意：求出的边长应符合三角形的三边关系定理．
（1）设底边，则腰长，根据三角形的周长公式，列出方程，即可求解；
（2）分为长为边是等腰三角形的腰和长为边是等腰三角形的底边，两种情况，进行分析，结合三角形的三边关系进行验证，即可求解．
（1）解：设底边，则腰长，
∵三角形的周长是，
∴，
∴，
则，
即等腰三角形的三边长是，，．
（2）解：当长为边是等腰三角形的腰时，
设底边为，
则，
解得：，
此时，等腰三角形的三边长是，，，
∵，
故三条边的边长为，，时，不构成三角形；
当长为边是等腰三角形的底边时，
设等腰三角形的腰为，
则，
解得：，
三角形的三边长是，，，
∵，
故三条边的边长为，，时，构成三角形；
故如果一边长为时，另两边长，．
19．(1)，
(2)见解析
本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理推出，通过证明，得到，利用周角的定义得出，根据三角形外角的性质得到，得到，推出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可证明．
（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∴的度数为，的度数为；
故答案为：，；
（2）证明：∵是的平分线，
∴，
由（1）得，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．(1)
(2)见解析
本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解；
（2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证．
（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
即．
21．(1)
(2)证明见解析
本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解．
（1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案；
（2）通过证明出，得出，即可证明．
（1）解：是的垂直平分线，
，
，
，
的周长为14，
，
，
，
的周长为8；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
即点E在线段的垂直平分线上．
22．
此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
解：是边上的高，
，
．
，
．
平分，
．
，，
．
23．，理由见解析
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．根据角平分线的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得出，进而即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出．
解：，理由如下：
∵平分，，，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
(3)点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形
（1）根据题意，，，解答即可．
（2）根据题意，，，点P在线段上，则，结合是等腰三角形，得，此时；解答即可．
（3）根据等腰三角形性质和判定，分三种情况，解答即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
（1）解：根据题意，得，，
当秒时，，，
此时，，
又，
故．
（2）解：根据题意，，，
点P在线段上，则，
由是等腰三角形，
得，
此时；
解得．
（3）解：∵，
∴，
∵动点Q的速度为，设运动时间为，
∴点Q运动路程，
∵点Q在上，
∴所以运动时间大于，，
∵是等腰三角形，
当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，；
当时，
则，
过点B作于点G，
则，，
∴，
∴，
此时，；
当时，此时，
此时，，
综上所述，点Q运动秒或6秒或秒时，是等腰三角形．

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