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浙教版2024八年级上册
第二章 特殊三角形单元测试·提升卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 7
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 轴对称图形的识别
2 0.65 等腰三角形的定义；绝对值非负性；利用算术平方根的非负性解题；三角形三边关系的应用
3 0.65 等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质
4 0.85 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）；等边三角形的性质；等腰三角形的性质和判定；根据成轴对称图形的特征进行求解
5 0.85 两直线平行同位角相等；写出命题的逆命题；对顶角相等；判断命题真假
6 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；与三角形的高有关的计算问题；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
7 0.65 判断三边能否构成直角三角形
8 0.85 角平分线的判定定理
9 0.65 等腰三角形的性质和判定；线段垂直平分线的性质
10 0.65 等腰三角形的性质和判定；根据成轴对称图形的特征进行求解
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 三角形内角和定理的应用；根据成轴对称图形的特征进行求解
12 0.65 构成三角形的条件；等腰三角形的定义
13 0.65 三角形的外角的定义及性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
14 0.65 图形类规律探索；等边三角形的性质；三角形的外角的定义及性质；等腰三角形的性质和判定
15 0.65 写出命题的逆命题
16 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 三角形三边关系的应用；等腰三角形的定义
18 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；三角形内角和定理的应用
19 0.65 角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)；等边对等角
20 0.85 等边三角形的判定；两直线平行同位角相等
21 0.65 线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
22 0.65 作垂线(尺规作图)；等边三角形的判定和性质；线段垂直平分线的性质
23 0.65 线段垂直平分线的判定；等边三角形的判定和性质；线段垂直平分线的性质
24 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；斜边的中线等于斜边的一半《第二章 特殊三角形单元测试·提升卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D D C B A A B
1．D
本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键；
轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合； 根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2．A
本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握绝对值和算术平方根的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键．根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为时；②当等腰三角形底边长为时，即可得出答案．
解：根据题意得，
解得，
①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形；周长为
②若是底边长，则三角形的三边长为：、8、8，能组成三角形，周长为．
故选：A．
3．A
本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数．
解： 是等边三角形，，
，，
垂直平分，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：A．
4．D
本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质．
根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立．
A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等；
B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等；
C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等；
D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义．
故选：D．
5．D
本题主要考查了命题与定理、有理数的平方、对顶角、平行线的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理成为解题的关键．
先写出逆命题，然后根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定逐项判断即可．
解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意．
故选：D．
6．C
本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
本题根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可．
解：∵在中，是高，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，是角平分线，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键
根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．
8．A
本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．
利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到、、的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．
解：∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，
故①正确；
∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，
故②正确；
∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，故③正确；
∵点P到、、的距离都相等，
∴恰好是、、三条平分线的交点，故④正确；
综上可得①②③④都正确．
故选：A．
9．A
本题考查等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据各个条件画出图形判断即可．
解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合，
如图，，，则垂直平分，
∴，
∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形；
②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合，
如图，，平分，则，，
∴，
∴，
∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形；
③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合，
如图，平分，，则，结合公共边不能证明，也就不能证明，
∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合不能够判定一个三角形是等腰三角形；
故选：A．
10．B
本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解．
解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点，
，
是等腰三角形，
作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形，
以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形，
以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形，
所以，动点的个数有5个，
故选：B．
11．/120度
本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可．
解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，
，
，
的周长
，即此时的周长有最小值，
由轴对称的性质可得，，
，
，
，
，
故答案为：．
12．22
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想和运用三角形三边关系判定三角形是否存在成为解题的关键．
分9是腰长和底边两种情况，分别利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可．
解：①9是腰长时，三角形的三边分别为9、9、4，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长；
②9是底边时，三角形的三边分别为9、4、4，
∵，
∴不能组成三角形．
综上所述，三角形的周长为22．
故答案为22．
13．/36度
此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
本题主要考查了图形类的规律题，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，明确题意，准确的到规律是解题的关键．
根据为等边三角形，可得，，从而得到，进而得到，同理可得，，，由此得到规律，即可求解．
解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
同理可得，
，
……
∴，
∴，
故答案为：．
15．两组对边平行的四边形是平行四边形．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，写出逆命题即可．
解：命题“平行四边形的两组对边平行”的逆命题是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
16．或
本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
解：分两种情况：
如图①，当时，．
，
．
如图②，当时，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
17．
本题考查了等腰三角形的有关边的相关知识，此外还涉及到三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由于题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行讨论计算即可，但是最后需要结合三角形三边的关系将不合题意的结果舍去．
解：①当腰长与底边的比为时，设腰长为，底边长为，
则：，
解得，
∴，，
∴此时腰长为：8，底边长为：20，
∵，
∴此时三角形不存在，应舍去；
②当底边与腰长的比为时，设腰长为，底边长为，
则，
解得，
∴,，
∴此时腰长为：15，底边长为：6，
综上：满足条件的等腰三角形的底边长为：6．
18．(1)见解析
(2)
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题．
（1）证明，根据即可证明．
（2）由，得到，然后进行求解即可．
（1）证明：∵，为等边三角形，
∴．
则
∴．
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，
∴．
19．(1)
(2)
（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据等边对等角得出的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出的度数，即可推出结果．
（1）解：如图，过点作于点，
由作图可知，平分，
又垂直平分边，，
，
，，
，
△与△的面积比；
（2）解：，，
，，
平分，
，
垂直平分边，
，
，
．
本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规基本作图-作角平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
20．证明见解析
本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．
证明：，
又，
是等边三角形．
21．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，由是线段的垂直平分线，得到，设，则，在中利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和性质，以及等边三角形的判定条件．
（1）按尺规作垂直平分线的步骤作出的垂直平分线，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两个交点作直线，则就是的垂直平分线，交于，交于；
（2）利用垂直平分线的性质、直角三角形的性质，结合等边三角形的判定定理证明是等边三角形．
（1）解：
即为所画；
（2）证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，
又，
．
在中，，
．
．
，
是等边三角形．
23．(1)见解析；
(2)．
本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明垂直平分即可；
（）先证明是等边三角形，由垂直平分，则有，然后根据即可求解．
（1）证明：∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，是不同的两点，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∵垂直平分，
∴是的中点，
∴，
∵
∴
，
∴四边形的面积为．
24．(1)见解析
(2)∠
(3)见解析
（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解；
（2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而；
（3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，交于点H，
则，
∵，
∴，
即．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：延长交于点T，连接，，如图：
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或22 B．20 C．22 D．以上答案均不对
3．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
6．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，，2 C．，4，7 D．4，5，6
8．如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　）
①一条边上的高线与这条边上的中线重合
②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合
③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合
A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以
10．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个．
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ．
12．若等腰三角形的两边长分别为9和4，则该等腰三角形的周长是 ．
13．如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则 ．
14．如图，已知：，点、、、．．．在射线上，点、、、．．．在射线上，、、、．．．均为等边三角形，若，则线段的长为 ．
15．命题“平行四边形两组对边平行”的逆命题是 ．
16．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知等腰三角形周长为，两边之比为，求底边长．
18．如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接．
(1)若，，求与的面积比；
(2)若，求的度数．
20．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形．
21．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于D点，E点，已知，，求的长．
22．在中，．
(1)用尺规作的垂直平分线交于D，交于E；
(2)连接．求证：是等边三角形．
23．如图，在四边形中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的面积．
24．如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若N是的中点，求证：．

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