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21.2解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程时，可配方得（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若（b≠0），则=（　　）
A．0 B． C．0或 D．1或 2
7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
9．一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
10．用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（ ）
A．（a﹣2）2+1 B．（a+2）2﹣1
C．（a+2）2+1 D．（a﹣2）2﹣1
11．若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）．
A． B． C．0 D．1
12．的解是( )
A．2 B． ，1 C． D．2，
二、填空题
13．关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是 ．
15．关于的一元二次方程的两根为，，则可分解为 ．
16．方程的根是 ．
17．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是 ．
三、解答题
18．（1）解方程：．
（2）已知关于的一元二次方程，．求证，方程总有两个实数根．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．解方程：
（1）；（2）.
21．用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．用配方法解方程：
23．解方程：
(1) ；
(2)．
24．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
《21.2解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D B C C B D A
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】根据因式分解法解方程的基本步骤去判断即可．
【详解】A. ，所以或，符合题意；
B. ，所以或，错误，不符合题意；
C. ，所以或，错误，不符合题意；
D. ，所以，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法解方程的基本步骤是解题的关键．
2．A
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
3．B
【分析】本题考查了解一元二次方程 配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可．
【详解】∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
5．B
【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式．
【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解．
B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法．
C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解．
D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解．
综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解．
故选：B．
6．C
【详解】解：∵ ，
∴a(a-b)=0，
∴a=0，b=a．
当a=0时，原式=0；
当b=a时，原式=
故选C
7．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
8．B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
9．D
【详解】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
10．A
【分析】根据完全平方公式，看一次项和二次项系数，据此配方变形.
【详解】由题，该二次三项式得二次项系数是1，一次项系数是4，经完全平方公式判断，得出可配得（a-2）2，再看常数项得出结果是（a-2）2+1.
【点睛】熟练掌握完全平方公式是解题得关键.
11．A
【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴△=＜0，
解得：，
故选项中只有A选项满足，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.
12．D
【详解】∵，
∴x=2或x=-1，
故选D.
13．k＜2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且 =（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
14．﹣2．
【分析】先根据方程有两个实数根，确定△≥0，可得k≤，由x1 x2=k2+1＞0，可知x1、x2，同号，分情况讨论即可．
【详解】∵x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴△＝（3﹣2k）2﹣4×1×（k2+1）≥0，
9﹣12k+4k2﹣4k2﹣4≥0，
k≤，
∵x1 x2＝k2+1＞0，
∴x1、x2，同号，
分两种情况：
①当x1、x2同为正数时，x1+x2＝7，
即2k﹣3＝7，
k＝5，
∵k≤，
∴k＝5不符合题意，舍去，
②当x1、x2同为负数时，x1+x2＝﹣7，
即2k﹣3＝﹣7，
k＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式．解此题时很多学生容易顺理成章的利用两根之积与和公式进行解答，解出k值，而忽略了限制性条件△≥0时k≤．
15．
【分析】利用因式分解法即可进行计算.
【详解】∵关于x的一元二次方程的两根为，，
∴＝0，
∴ 可分解为.
故答案为.
【点睛】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法，熟练掌握公式是本题解题的关键.
16．5或-3
【分析】利用直接开平方法可得方程的解．
【详解】解：原方程两边直接开平方可得：x-1=4或者x-1= -4，∴x=5或者x= -3，
故答案为5或-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．
17．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
【详解】由题意得：，
∴m=1，
原方程变为：﹣x2+2=0，
x=，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．
18．（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式证明即可
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）证明：由题意可知，
∵，
∴方程总有两个实数根．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，即，
，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．（1）（2），
【分析】（1）直接开方求解；（2）化为然后直接开方．
【详解】解：（1）直接开方得；（2）移项得，直接开方得，即．
【点睛】形如的一元二次方程的采用直接开方法，可得
21．(1)，
(2)；
(3)，
(4)，
【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；
（2）先方程两边都除以2，再直接开方；
（3）先把-49移项到方程右边，再直接开方；
（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【详解】（1），
∴， ；
（2），
，
∴；
（3），
∴，
∴ ，
∴，；
（4）∵，
∴，．
22．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可．
【详解】解；∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得．
23．(1)，
(2)，
【分析】（1）用十字相乘法分解因式，解出x的值；
（2）利用平方差公式“”分解因式，解出x的值．
【详解】（1）解：分解因式得：
或
，；
（2）解：移项得：
即
或，
，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
24．m的值是．
【分析】一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此列出式子进行求解即可得．
【详解】由题意得：且，
解得，
故m的值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式、解一元二次方程，特别要注意二次项系数的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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