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第二十一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
2．方程7x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．7和4 B．7和﹣4 C．7和﹣1 D．7和1
3．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B． C． D．
4．某小区规划在一个长为，宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为（如图），则甬路的宽为（ ）
A． B． C． D．
5．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
6．如图，要设计一幅宽、长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和竖彩条的宽度分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．一元二次方程的解是(　　　)
A． B． C． D．
8．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．m≠2
9．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若是关于x的一元二次方程的根，则的值（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
12．已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．不存在
二、填空题
13．关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ．
14．填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1) = ；
(2) = ；
(3) = .
15．已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为
16．求下列方程的解
①x2+4x+3=0
②x2+6x+5=0
③x2－2x－3=0
17．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为，宽为，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为，求路的宽度为 ．
三、解答题
18．关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值．
嘉佳的解题过程如下：
【解】，
，
整理，得，
解得．
嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程．
19．a、b、c满足方程组求方程的解．
20．世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出 500张，每张可获利0.5元，调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．
21．解方程：
(1)－6x－4＝0
(2)x－＝+1
22．已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
23．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
24．解方程：(x-1)2-2(x2-1)=0.(因式分解法)
《第二十一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C B C A B A B
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据根的判别式△＝b2－4ac进行计算判断即可.
【详解】原方程为x －2x+4＝0，则其△＝（－2） －4×1×4＝－12＜0；
由此可得原方程x －2x+4＝0无实数根.
故答案选D．
【点睛】本题考查根的判别式，看到此类题目要首先想到△＝b －4ac，根据判别式判断根的个数.
2．B
【分析】根据一元二次方程的一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【详解】解：7x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为7和﹣4，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
4．C
【分析】设小路的宽为xm，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．
【详解】解：设甬路的宽为．
根据题意得，
整理得，
解得，
当时不符合题意，故舍去，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
5．B
【详解】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故选B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
6．C
【分析】要求彩条的宽度，可设横彩条的宽为，则竖彩条宽为，横彩条的长为矩形的宽，竖彩条的长为矩形的长，由此可分别求出横竖彩条的面积，由图可知横竖彩条有重叠的面积，所以横竖彩条的面积减去重叠的部分等于总面积的三分之一，由此列方程并求解即可．
【详解】解：设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，
由图可知一个横彩条的面积为：，一个竖彩条的面积为：，
有四个重叠的部分，重叠的面积为：，
因为所有彩条的面积为总面积的三分之一，
所以列方程为：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
应设计横的彩条宽为，竖的彩条宽为．
故选：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解决本题的关键，此时注意，重叠的面积在算横竖彩条的面积时算了两次，故减去一次，才等于总面积的三分之一．
7．A
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】，
即，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键．
8．B
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程；
根据一元二次方程的定义，|m|=2且m-2≠0，解得m即可.
【详解】由题意得：|m|=2且m-2≠0，
解得：m=±2且m≠2，
∴m=-2.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.
9．A
【分析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5-0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5-0.5x）=20，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程中求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根，
∴，则，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．
11．C
【分析】由全等三角形的性质可设 结合正方形的性质可得 解方程可得 如图，过作于 则 求解 由，解得：，可得 再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可得：正方形，正方形，
∴
∵四个全等的直角三角形，
∴设
整理得：
解得：（负根不合题意，舍去）
如图，过作于
则
由，
可得：
解得：，
故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，二次根式的化简，等面积法的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用正方形的性质解决问题是关键．
12．A
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：且．
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：A．
13．-2
【分析】由题意常数项为0，可得m2－4=0，解出即可．
【详解】由题意得：m2－4=0
解得：m=±2
∵为一元二次方程
∴m－2≠0即m≠2
∴m =﹣2
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，需要注意二次项系数a≠0．
14． 4 2 1 1
【分析】利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行解题即可
【详解】（1）4 =2；
（2） =；
（3）
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题关键
15．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为: -．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
16． x1=-3，x2=-1 x1=-1，x2=-5 x1=－1，x2=3
【分析】根据因式分解法计算即可．
【详解】解：(1)x2+4x+3=0，
（x+3）（x+1）=0
x1=-3，x2=-1
(2)x2+6x+5=0
（x+1）（x+5）=0
x1=-1，x2=-5
(3). x2－2x－3=0
（x-3）（x+1）=0
x1=3，x2=-1
故答案为：x1=-3，x2=-1；x1=-1，x2=-5；x1=3，x2=-1
【点睛】本题考查解方程，解题的关键是应用因式分解法．
17．
【详解】设路的宽度是xm.根据题意，得
(40 2x)(26 x)=864，
x2 46x+88=0，
(x 2)(x 44)=0，
x=2或x=44(不合题意,应舍去).
故答案为2.
点睛：此题考查了一元二次方程的实际应用，此类题目中注意利用平移的知识把道路平移到一块儿，对花草面积进行整体计算.
18．的值为．
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．
【详解】解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下：
根据题意得，解得．
，，
整理得，解得（舍去），
的值为．
【点睛】本题中忽略这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“”，才能得出正确结果．
19．
【分析】由已知a、b、c满足方程组则可把a,b是方程的两根，
然后求出a，b，c的值再进行求解即可．
【详解】由题意可知,
因此令a,b是方程的两根，
∴
∴y=4且
即
∴可化为．
即
解得
故方程根为：
【点睛】考查根与系数的关系，关键是构建方程，难度不答，根据非负数的性质求出的值是解题的关键.
20．每张书签应降价0.2或0.05元
【分析】设每张书签应降价x元，则每张可获利（0.5-x）元，平均每天可售出（2000x+500）张，利用批发商销售书签平均每天获得的利润=每张的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每张书签降价x元
根据题意得：，
解得：，，
答：每张书签应降价0.2或0.05元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(1)，
(2)x=7
【分析】（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解．
【详解】（1）∵
∴
即，
（2）去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：x=7
【点睛】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据方程的特点灵活选取解方程的方法．
22．(1)见解析
(2)时，为等腰三角形，的周长分别为28或32．
【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可．
【详解】（1）证明：
∴无论n为何值方程总有两个不等实根；
（2）解：∵方程有两个不相等实根，
为等腰三角形，
∴方程的其中一根应为10，
∴，
即：，
解得，
当时，方程为，
解得，
∴三边为10，10，12，周长为，
当时，方程为，
解得，
∴三边为8，10，10，周长为．
23．（1）m≠±1；（2）m=1．
【试题分析】（1）根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不为0，即当m2-1≠0时，解得m≠±1，
当m≠±1；
（2）根据一元一次方程的定义，要求不能含有二次项，且一次项系数不为0，即当m2-1=0，且m+1≠0时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠-1，即m=1．
【试题解析】（1）当m2-1≠0时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2-1=0，且m+1≠0时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠-1，
m=-1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【方法点睛】本题目是一道考查一元一次方程和一元二次方程的定义，难度不大，是一元一次方程的条件，不能含有未知项的次数高于一次的项，化简后一次项系数不为0；是一元二次方程的条件，二次项系数不为0.
24．x1=1，x2=﹣3．
【详解】(x-1)2-2(x2-1)=0.
(x-1)2 -2(x-1)(x+1)=0,
(x-1)[x-1-2(x+1)]=0,
(x-1)(-x-3)=0,
x-1=0,-x-3=0,
x1=1，x2=-3.
点睛：因式分解的方法
（1）提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法：平方差公式，完全平方公式
完全平方公式：=.
平方差公式：.=(a+b)(a-b).
（3）十字相乘法：
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) ，
利用上述公式计算时，经常要用到换元的方法，熟练掌握因式分解，就可以快速解方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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