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21.1一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A．或 B． C． D．
2．在下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A．； B．x2=0；
C． ； D．x(x-1)=x2.
3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
5．方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）
A． B．－
C． D．
6．已知是方程的一个根，求代数式的值是（ ）
A． B．5 C．3 D．
7．将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
8．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若非零实数、、满足，则关于的一元二次方程一定有一个根为（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．无法确定
10．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．不存在
11．一元二次方程的常数项是（ ）
A． B．4 C． D．2
12．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（　　）
A．﹣13 B．﹣9 C．6 D．0
二、填空题
13．若关于x的方程（a+3）x|a|-1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
14．已知a是方程的一个根，则代数式的值为：
15．一元二次方程有实根的条件是： ．
16．填空：
（1）一元二次方程的一般式是 ．
（2）把一元二次方程化成一般式是 ．
（3）把一元二次方程化成一般式是 ．
（4）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ， 常数项是 ．
（5）一元二次方程的二次项的系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是 ．
（6）当 时，关于的方程是一元二次方程．
17．已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝ ．
三、解答题
18．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
19．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
；
；
；
．
20．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.
22．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？
23．判定下列方程是不是一元二次方程：
(1)；
(2)．
24．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根．
《21.1一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B D B A C B B
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，比较简单，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
故选C．
2．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答. 一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
【详解】方程二次项系数可能为0,故错误;
B、符合一元二次方程的定义,故正确.
C、不是整式方程,故错误;
D、方程二次项系数为0,故错误;
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
3．A
【详解】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可．
【分析】解：A. 方程移项整理为，符合一元二次方程的形式，满足条件；
B. 方程展开后为，是一元一次方程，不符合条件；
C. 方程含有两个未知数，属于二元一次方程，不符合条件；
D. 方程中最高次数为3，是一元三次方程，不符合条件；
综上，只有选项A是一元二次方程；
故选：A．
4．B
【分析】根据题意可得且，继而求得答案．
【详解】由题意，得且，
∴且，
∴．
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．
5．D
【分析】把一元二次方程变形为标准形式，再把各项系数相加．
【详解】方程x2－=(－)x化为一般形式为x2－(－)x－=0，系数相加为1－(－)－．
.所以答案选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的变形是本题的解题关键．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是根据方程根的概念得到，变形后整体代入．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，
一次项系数、常数项分别是-5，1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只有一个未知数且未知数次数为2的整式方程成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐项判断即可．
【详解】解：A： 含有分式，不是整式方程，不符合题意；
B： 中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是二次方程，不符合题意；
C： 展开后为，是整式方程且最高次数为2，符合定义．
D：，展开右边得合并后方程为，化简得，为一次方程，不符合题意．
故选C．
9．B
【分析】把x＝ 2代入方程ax2＋bx＋c＝0得到4a 2b＋c＝0，即可得出答案．
【详解】解：∵把x＝ 2代入方程ax2＋bx＋c＝0可得4a 2b＋c＝0，
∴方程一定有一个根为x＝ 2，
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，能使方程成立的未知数的值，就是方程的解.
10．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程中，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程的常数项是．
故选：A
12．A
【分析】设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x2﹣3x﹣1=0，也满足方程x4+ax2+bx+c=0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则m2﹣3m﹣1=0，
所以m2=3m+1．
由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，
∴m4+am2+bm+c=0，
把m2=3m+1代入此式，
得：（3m+1）2+am2+bm+c=0，
整理得：（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．
∴方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），
∴b=﹣3a﹣33，c=﹣a﹣10．
∴a+b﹣2c=a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）=﹣13．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．
13．3
【详解】由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，
解得：a=3，
故答案为3．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.　
14．
【分析】根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
把上面的两个式子代入原式求解，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．
15．
【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
根据一元二次方程根与系数的关系直接进行解答即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解，
∴b2-4c≥0．
16． 4 0 3
【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可．
本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是，在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：；
（2）把一元二次方程化成一般式是：；
（3）把一元二次方程化成一般式是：．
（4）一元二次方程化为一般式为：，
二次项的系数是：4，一次项的系数是：0，常数项是：；
（5）一元二次方程化为一般式为
二次项的系数是：3，一次项的系数是：，常数项是：．
（6）∵是一元二次方程，
∴，
解得，
∴当时，关于的方程是一元二次方程．
17．.
【分析】把x=0代入方程可得．
【详解】解：把x=0代入方程可得：
2a－1＝0，
解得a=．
故答案为
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根.解题关键点：解一元一次方程．
18．（1）存在，m=1，x1=1，x2=﹣；（2）存在，m=0时，x=﹣1；m=﹣1时，x=﹣．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，要求含有二次项，且二次项系数不为0，即，解得m=1，将m=1代入（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-；
（2）根据一元一次方程的定义，要求未知数的最高次为1，该题目分类讨论：当（m+1）存在的话，则m2+1=1解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1；当（m+1）不存在的话，则m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=-．
【详解】（1）根据一元二次方程的定义可得，
解得m=1，
此时方程为2x2-x-1=0，
解得x1=1，x2=-．
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，
解得：x=-1，
当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，、
解得：x=-．
19．见解析
【分析】（1）移项得，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（2）移项得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（3）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（4）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．
【详解】由原方程得到：，
所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；
由原方程得到：，
所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；
由原方程得到：，
所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：；
由原方程得到：，
所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答．
【详解】（1）解：化为一般形式是，
二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3．
（2）解：化为一般形式是，
二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是．
（3）解：化为一般形式是，
二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是．
（4）解：化为一般形式是，
二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
21．二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项
【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可.
【详解】解：原方程整理得
∴
∴各项与各项的系数分别为：二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号．
22．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程，
∴，
∴．
23．(1)是
(2)不是
【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断．
（2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断．
【详解】（1）整理原方程，得
，
所以．
其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．
（2）整理原方程，得
，
所以．
整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．
【点睛】本题考查了等式的性质和一元二次方程的定义，识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可．
24．，1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，将x=a代入方程得到a2－a＝1，代入化简后的式子中计算，即可求出值．
【详解】解：原式
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴a2－a－1＝0，
∴a2－a＝1，
∴原式＝1．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”思想是解题的关键，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2－a＝1整体代入化简后的代数式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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