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15.3等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍
2．下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．三个角都是的三角形是等边三角形
3．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被小湖泊隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，中，，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069 B．6066 C．6063 D．6060
8．如图，矩形ABCD的顶点A、B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=．将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（ ）
A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3）
9．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
二、填空题
13．在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是 ．
14．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为
16．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为 ．

17．如图，在中，为的中点，连接，则 度．
三、解答题
18．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　 ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
19．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．
20．如图，，点在直线上，点在直线上，，求的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD＝AB．求证：△ABC是直角三角形．
22．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
23．如图，为等边三角形，点是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点作直线BP的垂线段，垂足为点，将线段AD绕点逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE
(1)求证：BD＝CE
(2)延长ED交BC于点，
①求∠CED的度数；
②求证：F为BC的中点
24．在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．
(1)当点E恰好在AC上时，如图1，求的大小；
(2)若时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形（请用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
《15.3等腰三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D C A B C D
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】根据题意画出图形，设是等边的内心，连接，，延长交于，根据等边三角形的性质得出也是的外心，，，推出，分别求出等边三角形的外接圆、内切圆的面积，即可求出答案．
【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于，
是等边三角形，
也是的外心，，，
，
等边的外接圆的面积是，
等边的内切圆的面积是，
等边的外接圆面积是内切圆面积的4倍，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与外接圆，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是求出，主要考查了学生的计算能力，题型较好，难度也适中．
2．C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键．
分别写出逆命题，然后判断是否成立即可．
【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意；
B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意；
C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意；
D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可，熟练掌握直角三角形性质是解此题的关键．
根据直角三角形性质，得到，即可求解；
【详解】解：公路、互相垂直，
，
为中点，
，
，
，
故选：B
4．C
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案．
【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了等边三角形各内角为的性质， 全等三角形的证明， 全等三角形对应角相等的性质， 本题中求证是解题的关键 ．易证，可得，根据，即可求得，即可解题 ．
【详解】解： 在和中，
，
，
，
，，
．
故选：D
6．C
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选C．
7．A
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵△A0B1A1是等边三角形，
∴∠A1A0B1=60°，
∴A0B1的解析式为y=，
联立
解得：或，
∴B1（，），
∴等边△A0B1A1的边长为，
同理，A1B2的解析式为y=，
联立，
解得或，
∴B2（，2），
∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（21）=2，
同理可求出B3（，），
所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（-1-2）=3，
…，
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
△A2022B2023A2023的边长为2023，
∴△A2022B2023A2023的周长是6069．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，根据点B系列的坐标求出等边三角形的边长并且发现系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键．
8．B
【分析】如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，先求出点C的坐标为（5，3），然后根据每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，可知当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CFB=90°，∠OBA=45°，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FCB=45°=∠FBC，
∴FB=FC，
∵，
∴，
∴FB=FC=3，
∴OF=5，
∴点C的坐标为（5，3），
∵将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，
∴每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，
∵2022÷4=505余2，
∴当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，
∴此时C点的位置与初始位置关于原点对称，
∴第2022次旋转后点C的坐标是（-5，-3），
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，关于原点对称的点的坐标特征，正确分析出第2022此旋转后点C的位置是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可．
【详解】解：平分交于，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：
11．D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵ABCD，
∴CD=AB，CDAB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，
∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，
∴
∴，
∵AB=CD，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
12．C
【分析】根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，
当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，
则，
解得：，
即该等腰三角形的底角为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．
13．
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可知平分，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
由角平分线的尺规作图可知，平分，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
14．4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
15．+或1
【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论．
【详解】解：①如图1，
当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MC=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CM是等腰直角三角形，
∴CM=M，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点，
∴BM=M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
16．/
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：的周长为18，
．
为的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】解：∵为的中点，
．，
，
故答案为：．
18．①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；
（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；
（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．
【详解】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠2＋60°，
∴∠1＝∠2，
∴△ADC∽△DEB．
【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．
20．
【分析】此题考查三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，根据等边对等角推出，利用两直线平行同位角相等得到，由此求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：如图，，
．
，
，．
，，
．
21．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形内角和为即可求解．
【详解】证明：∵CD是中线
∴
又∵
∴
∴，
又∵，
∴
∴△ABC是直角三角形
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，解题的关键是掌握相关基本性质．
22．(1)
(2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
(3)或
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键；
（1）分别用t表示出和，则按求解即可；
（2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变；
(3)分和两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）四边形是矩形，，，
，，，
点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，
，，，
∵当时，是等腰直角三角形，
∴即，
∴当时，△AQP是等腰直角三角形；
（2）∵在中，，边上的高，，
在中，，边上的高，
，
，
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
（3）根据题意，可分为两种情况，
在矩形ABCD中：
①当时， ，
，
解得，
②当时， ，
，
解得，
所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似．
23．(1)见详解
(2)①∠DEC=30°；②见详解
【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，再利用SAS可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；
（2）①根据AD⊥BD，得出∠ADB=90°，根据△BAD≌△CAE，得出∠ADB=∠AEC=90°，根据∠AED=60°，利用图中角度计算即可；②过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；
【详解】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
在等边△ABC和等边△ADE中，
∵ AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）解：①∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵△BAD≌△CAE
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED =90°-60°=30°，
②如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，
∴∠G=∠BDF，
由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA=90°，
∴∠CEA=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠BDG=180°-∠ADB-∠ADE=30°，
∴∠CED=∠G=∠BDG=30°，
∴CE=CG，
∴BD=CG，
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF=FC ，
即F为BC的中点．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝AC，从而得出 BF＝AB，然后证出△ACD和△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．
【详解】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°．
（2）证明：如图2，连接AD，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF=CF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中，
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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