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17.1用提公因式法分解因式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将多项式进行因式分解得到，则分别是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则m+n等于（ ）
A．21 B．-28 C．1 D．2
4．下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知多项式分解因式为，则、的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．多项式可以分解为，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．2
9．将因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则代数式的值为（ ）
A．34 B． C．26 D．
11．如果，．那么的值是（ ）
A． B． C．21 D．10
12．下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．多项式各项的公因式是 ．
14．阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？
解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
若为常数有一个因式为，则因式分解 ．
15．已知，满足等式，则的值为 ．
16．已知多项式，，则A、B的公因式是 ．
17．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ．
三、解答题
18．因式分解：
(1)4x2-8x+4；
(2)(x+y)2-4y(x+y)
19．计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
20．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
21．用提公因式法分解因式：
(1)；
(2)．
22．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6
问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；
(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　；
发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　；
问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）．
23．把下列各式因式分解：
（1）；（2）．
24．已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值．
《17.1用提公因式法分解因式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C C D D B B C
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可．
【详解】解：
∴
∴
故选A
2．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意；
C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
【详解】解：已知等式整理得：，
∴n+3=-4，m=3n，
解得：m=-21，n=-7，
则m+n=-21-7=-28，
故选：B
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
4．C
【分析】本题考查提公因式法因式分解，结合题意判断各项是否有公因式即可．
【详解】解：A、中公因式为3，则A不符合题意；
B、中公因式为，则B不符合题意；
C、中各项没有公因式，则C符合题意；
D、中公因式为，则D不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】此题考查了因式分解的定义和因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的，因式分解的方法有：十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意；
． ，原因式分解错误，故该选项不符合题意；
．，因式分解正确，故该选项符合题意；
．，不是因式分解，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
【详解】解：，
∴，
解得．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【详解】解：由多项式分解因式为，得
．
，，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了因式分解和多项式乘多项式的运算，正确将原式变形是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
【详解】解：依题意得： ，
，．
解得∶，．
则．
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是找到公因式．
通过观察可知公因式为，将原式中的公因式提取出来即可解出此题．
【详解】解：∵中的公因式为，
∴原式，
故选：B．
10．C
【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴
∴原式=10×3－4
=26
故选C．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．
11．C
【分析】本题主要考查利用因式分解，整体带入求值，直接对因式分解，，然后直接带入，即可算出答案．
【详解】由题可知，；
∵，；
∴；
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式．
【详解】解：A：右边为，包含加法运算“”，不是积的形式，不符合因式分解的定义．
B：左边为，右边为，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义．
C：左边为，右边为，属于整式乘法，不是因式分解．
D：左边为，右边为，属于乘法分配律的展开，不是因式分解．
故选：B．
13．
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解．
【详解】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y，
∴该多项式的公因式为2y，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
14．
【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式．
【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
因式分解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握列竖式做多项式除法是解题的关键．
15．4
【分析】由等量代换可得可得从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∵ 则
∴ 则
∴
故答案为：4
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．
16．/
【分析】把A、B进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
，
所以A、B的公因式是．
故答案为：
【点睛】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，
∴当时，的值也为0，
∴当时，的值也为0，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式进行分解因式即可；
（2）根据提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据同分母分式的运算法则解题，注意负号的作用；
（2）利用同分母分式的减法法则，结合平方差公式进行计算；
（3）利用同分母分式的减法法则，结合提公因式化简解题；
（4）根据同分母分式的加减法法则解题．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查分式的加减混合运算，涉及平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】利用提公因式法分解；
利用平方差公式分解；
先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解；
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式 ，
，
．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
22．(1)（1+a）4
(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47
【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，
发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；
问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．
23．（1）；（2）．
【分析】（1）提出公因式（x-3）即可；
（2）提出公因式y（x+1），另一个因式化简即可．
【详解】（1）；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后，另一个因式能化简的要化简.
24．，．
【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为，利用多项式乘法得到，进而得到，求出，则，．
【详解】解：为的一个因式，
可设另一个因式为
∴
，
，
∴，．
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