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18.5分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．13
4．医用75%酒精消毒液，可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体手及各种皮肤消毒和一般物体表面消毒．在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精．设需要加水．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3
7．关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．5
8．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
9．解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息：
x的取值 0.4 q
分式的值 无意义 0 3
则q的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
11．关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A． B．4 C． D．2
12．已知关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题
13．已知方程，有增根，则 ．
14．若关于的方程有增根，则的值为 ．
15．当 时，方程的解与方程的解相同．
16．当x= 时， 与 互为相反数．
17．分式方程无解，则的值为
三、解答题
18．如果解关于x的分式方程出现了增根，求m的值．
19．以下是小明同学解方程的过程
解：方程两边同时乘，得
第一步
解得：第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第______步开始出现错误．
（2）写出正确的解方程的过程．
20．（1）利用因式分解计算：1－22＋32－42＋52－62＋．．．．．＋992－1002＋1012；
（2）＋＋＋＋＝
21．若关于x的分式方程无解．求m的值．
22．一个多边形的外角和与它的内角和的比是，求这个多边形的边数．
23．解分式方程
（1）
（2）
24．（1）已知关于的方程 的解是正数，求的取值范围
（2）若方程 无解，求的值．
《18.5分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C C D A C D D
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】方程两边同时乘以，利用等式的性质即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以可得：，
故选：D．
【点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．
2．A
【分析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，据此逐一进行判断．
【详解】解：A.分母不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解分式方程﹣2＝，得：，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴a=-1，1，2，4，7．
故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
4．C
【分析】本题考查了分式方程的应用，设需要加水．根据题意列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设需要加水．根据题意得，
故选：C．
5．C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：m-1=x+1，
解得：x=m-2，
由题意得：m-2≥0且m-2≠-1，
解得：m≥2，
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程及分式方程的解，掌握分式方程的解法及解的意义是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解方程，得：，
∵方程的解为正数，且，
∴，解得：且，
∴满足条件的正整数的值为1，3；
故选D．
7．A
【分析】把分式方程转化为整式方程，再将x=2代入求解可得．
【详解】解：
方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
将x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
8．C
【分析】将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出m．
【详解】解：去分母，得，
化简得，
∵方程无解，
∴①当时，方程无解；
②当时，方程无解，此时，解得，
即或时，方程无解，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键．
9．D
【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可．
【详解】解：
去分母得，
故选：D
10．D
【分析】根据表格的数据分别确定m=2，n=-2，然后根据分式的值为3求解即可．
【详解】解：由表格数据得：当x=-2时，分式无意义，
∴-2+m=0，
∴m=2，
当x=0.4时，分式的值为0,
∴，
解得：n=-2，
∴分式为，
当分式的值为3时，即，
解得：x=4，
检验，x=4为分式方程的解，
∴q=4，
故选：D．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
11．C
【分析】由分式方程有增根，得到，求出x的值，将原方程去分母化为整式方程，将x的值代入即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，即，
分式方程，
去分母得，
将代入中，
得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．
12．D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x 4＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原方程去分母，得：，
∴，
由分式方程有增根，得到x 4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．
故选D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．
【分析】先将分式方程去分母整理为整式方程，然后根据分式方程有增根可得或，代入计算即可．
【详解】解：方程两边同乘，得．
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
增根是或，
当时，；
当时，k无解．
∴k值为，
故答案为：．
【点睛】增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．6
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】方程两边都乘以，得，即，
∵方程有增根，
∴，解得，
∴是整式方程的根，
∴，即，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键．
15．
【分析】先求得的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
方程的解与方程的解相同，
把代入，
得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
当时，方程的解与方程的解相同，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要验根．
16．﹣1
【分析】根据若a、b互为相反数，则a+b=0，建立关于x的分式方程，解方程检验即可．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
方程两边同时乘以（2x-1）（x+4）得：
3(x+4)+3（2x-1）=0，
解之：x=﹣1，
经检验知，x=﹣1是此分式方程的根，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查相反数、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，能根据相反数的意义列出方程是解答的关键．
17．2或3
【分析】根据分式方程无解的两种情况计算得出答案．
【详解】解：去分母得：ax-3=2（x-1），
（a-2）x=1，
（1）当a-2=0时，a=2，
此时方程无解，满足题意；
（2）当a-2≠0时，x=，
将x=代入x-1=0时，
解得a=3．
综上所述：a=2或3．
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了分式方程的无解的条件，分为两种情况：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程所得到的解使原方程的分母等于0．
18．-3
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【详解】解：由分式方程去分母，
整理得（m+2）x=-4m-15，
由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，
当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3，
当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．
故m的值为-3．
【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．（1）一；（2）见解析
【分析】（1）逐步检查即可找到错误的地方．
（2）按照解分式方程的方法解答即可
【详解】（1）第一步出现错误，方程右边的项-3漏乘了最简公分母；
故答案为：一
（2）去分母得：
解得：
经检验是分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，注意：方程两边乘最简公分母时，不要漏乘不含分母的项．
20．（1）5151；（2）x＝118
【分析】（1）用平方差公式分解后再计算．
（2）先裂项求出左边的和，再解方程．
【详解】解：（1）
．
（2）．
．
．
．
．
．
．
经检验时，原方程各分母不为零，
是原方程的根．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解分式方程，将（1）用平方差公式分解，（2）中各分母因式分解后求和是求解本题的关键．
21．2或－4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x＝1或 1，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：分式方程两边同乘（x＋1）（x 1），
去分母得：m－（x＋1）＝2（x 1），
整理得：3x＝m＋1，
由分式方程无解得到x 1＝0，或x＋1＝0，即x＝1或 1，
代入整式方程得：m＝2或－4．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．
22．这个多边形的边数为11
【分析】根据多边形内角和公式和外角和，列式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
多边形的内角和是，
又多边形的外角和是，
，
解得：，是上述方程的解，
这个多边形的边数是11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和、外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和计算公式，外角和．
23．（1）；（2）．
【分析】（1）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可；
（2）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可．
【详解】解：（1），
去分母得：，
解得：，
当时，
∴是分式方程的解．
（2），
两边都乘以，得：，
解得，
当-时，，
所以是原方程的根，
【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项．
24．（1）且；（2）
【分析】（1）先解关于x的方程，再依据解为正数及分式方程分母不为0建立不等式，求解即可；
（2）先解关于x的方程，再依据无解时即分母为零进行求解即可．
【详解】（1）原方程整理得
解得
关于的方程 的解是正数
且
即且
且
（2）原方程整理得
解得
关于的方程 无解
即
【点睛】本题考查了解分式方程和分式方程的增根产生的原因，熟练掌握上述知识是解题的关键．
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