资源简介

15.1.1 轴对称及其性质
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解轴对称图形和对称轴的基本概念
掌握轴对称的基本性质
能够识别常见图形的对称轴
学会利用轴对称性质解决简单问题
培养空间想象能力和几何直观
知识点讲解
一、轴对称图形的定义
定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形
对称轴：这条直线叫做对称轴
对称点：折叠后重合的点叫做对称点
二、轴对称的性质
对称轴垂直平分连接两个对称点的线段
对应线段相等
对应角相等
对称变换不改变图形的形状和大小
对称轴上的点到对应点的距离相等
三、常见图形的对称轴
线段：有2条对称轴（垂直平分线和本身所在直线）
角：有1条对称轴（角平分线）
等腰三角形：有1条对称轴（顶角平分线）
等边三角形：有3条对称轴
矩形：有2条对称轴
正方形：有4条对称轴
圆：有无数条对称轴
四、轴对称的应用
利用对称性补全图形
解决最短路径问题
设计对称图案
易错点提醒
概念理解错误：
混淆轴对称与中心对称
认为所有图形都有对称轴
忽视对称轴是直线而非线段
性质应用错误：
错误使用对称性质证明
忽视对称轴垂直平分对应点连线
误认为对称变换改变图形大小
作图错误：
对称点位置找错
对称轴画成虚线
复杂图形对称时遗漏部分
实际应用误区：
不能正确识别生活中的对称现象
忽视对称性的实际意义
设计图案时对称性不完整
知识点小结
轴对称图形是指沿一条直线对折后能完全重合的图形
对称轴是直线，不同图形的对称轴数量不同
轴对称变换保持图形的形状和大小不变
对称轴垂直平分对应点连线是重要性质
掌握对称性质对解决几何问题很有帮助
理解对称性有助于欣赏生活中的数学美
小 建议
多观察生活中的对称现象
通过剪纸活动加深对轴对称的理解
从简单图形开始练习对称作图
注意区分轴对称与中心对称
养成标注对称轴和对应点的好习惯
巩固练习
一、选择题
1．在以下标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．线段 D．长方形
4．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．35° C．60° D．70°
5．如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．下列说法中：①线段是轴对称图形，②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，错误的有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．写出一个成轴对称图形的汉字：　 　．
8．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种.
9．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用 表示，右下角的圆形棋子用 表示，淇淇将第 枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形.则淇淇放的方形棋子的位置是　 　.
10．如图，，点为内一定点，点为射线上一动点，点为射线上一动点，当的周长取最小值时，　 　．
11．如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B.若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点　 　.（填P1至P4点中的一个）.
12．如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　 　个.
三、解答题
13．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
14．如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点．
（1）连接，若，求的周长；
（2）若，求证：平分．
15．如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数．
16．已知：如图，△AOB的顶点O在直线 上，且AO=AB.
（1）画出△AOB关于直线 成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在(1)画出的图形中，AC与BD的位置关系是　 　；
（3）在(1)画出的图形中连接AD，如果∠ABD=2∠ADB.
求证：△AOC是等边三角形，并直接写出∠DAO∶∠DAB的值.
参考答案
1．D
2．D
3．B
4．B
5．A
6．C
7．土（答案不唯一）
8．3
9．
10．
11．P2
12．5
13．解：如图
14．（1）解：∵点P与点M关于对称，
∴．
同理：．
∴的周长；
（2）证明：∵，Q、R为，的中点，
∴，，
∴．
又∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，
∴平分．
15．解：．
16．（1）解：如图
（2）平行
（3）设∠ABO=x，
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
则∠BAO=180°-2x=180°-2x=2(90°-x)，
∵∠COD=∠AOB=x，
∠DOB=360°-∠AOC-∠COD-∠AOB=360°-60°-2x=300°-2x，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD==x-60°，
∴∠ABD=∠ABO+∠OBD=x+x-60°=2x-60°，
∴∠ADB=∠ABD=x-30°，
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-（3x-90°）=270°-3x=3(90°-x).，
∴∠DAO=∠DAB-∠BAO=3(90°-x)-2(90°-x)=90°-x，
∴∠DAB=3∠DAO，即∠DAO∶∠DAB=1：3 .

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