资源简介

2025-2026学年数学八年级上册人教版 第十八章 分式
18.5 分式方程 （讲义）
思维导图
学习目标
理解分式方程的概念，能识别分式方程。
掌握解分式方程的基本思路和一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。
理解解分式方程时可能产生增根的原因，并会检验一个数是不是分式方程的增根。
知识点梳理及其讲解
知识点一：分式方程的概念
定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
讲解： 这是分式方程区别于整式方程的关键特征。整式方程的分母中不含有未知数，而分式方程的分母中必须含有未知数。
举例：
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1) （整式方程，分母为常数2，不含未知数）
(2) （分式方程，分母含有未知数x）
(3) （整式方程，分母为常数3和4）
(4) （分式方程，分母含有未知数x）
知识点二：解分式方程的基本思路
基本思路： 将分式方程转化为整式方程。
讲解： 因为我们已经学过解整式方程（如一元一次方程），所以解分式方程的核心思想就是“转化”，通过一定的方法去掉分式方程中的分母，把它变成一个整式方程来求解。
知识点三：解分式方程的一般步骤
去分母（关键步骤）：
方法： 方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。
讲解： 最简公分母是指方程中所有分母的最简公分母。这样做的依据是等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个不为零的整式，等式仍然成立。
注意： 方程两边的每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项。
解这个整式方程：
讲解： 此时得到的是一个整式方程（通常是一元一次方程），按照解整式方程的方法求出未知数的值。
检验：
方法： 将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（叫做增根），原分式方程无解。
讲解： 为什么会产生增根？因为在去分母的过程中，我们在方程两边同乘了一个可能为零的整式（当未知数取某个值时，最简公分母为零），这就可能导致方程的解的范围扩大，从而产生增根。因此，解分式方程必须检验。
例题讲解（解分式方程的步骤演示）：
例： 解方程
解：
去分母： 最简公分母是 。方程两边同乘 ，得： 化简，得： （这是一个整式方程）
解这个整式方程： 移项，得 ，即
检验： 当 时，最简公分母 。 所以， 是原分式方程的解。
知识点四：增根的概念
增根： 在将分式方程化为整式方程的过程中，有时会产生不适合原分式方程的解（或根），这种根叫做原分式方程的增根。
增根产生的原因： 去分母时，方程两边同乘的最简公分母的值为零，导致整式方程的解使原分式方程的分母为零，分式无意义。
如何检验增根： 如知识点三第3步所述，将整式方程的解代入最简公分母，看其是否为零。
知识点五：列分式方程解应用题的步骤（简要提及，预习重点在解方程本身）
（此部分在后续学习中会重点讲解，预习阶段可先了解思路）
与列整式方程解应用题类似，步骤大致为：审、设、列、解、验、答。
注意： 这里的“验”不仅要检验解是否为分式方程的增根，还要检验解是否符合实际问题的意义。
知识点总结
分式方程定义： 分母中含有未知数的方程。
解分式方程的核心思想： 转化思想（分式方程 → 整式方程）。
解分式方程的一般步骤：
去分母： 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。（注意：每一项都要乘！）
解整式方程： 按解整式方程的方法求解。
检验： 将整式方程的解代入最简公分母，若不为0则是原方程的解；若为0则是增根，原方程无解。
增根： 去分母后所得整式方程的解，使原分式方程分母为零，这样的解叫做增根。解分式方程必须检验是否有增根。
巩固练习
一、选择题
1．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
2．解分式方程时，去分母变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉： 洪洪：
下列判断正确的是（　　）
A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B．洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度
C．甲队每天修路的长度是40米
D．乙队每天修路的长度是40米
4．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 信息二：甲4小时完成工作量与乙3小时完成工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）。
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
6．若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．或－5 B．0或5 C．或5 D．0或－5
7．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． 且 D． 且
10．下列关于x的方程是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若分式方程无解，则m的值为　 　．
12．由下表数据可知，　 　．
代数式
值 2
13．为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为　 　．
14．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是　 　
15．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是　 　.
16．如图，点，在数轴上，它们所表示的数分别是，，且点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则　 　．
17．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
18．因为新型冠状病毒引起的新冠肺炎是一种传染极强，传播速度极快，死亡率极高的急性感染性肺炎，所以政府号召市民保护好自己，勤洗手，戴口罩，市场上的口罩被一抢而空，为了缓解一罩难求的局面，政府要求各口罩生产企业加大力度生产口罩，我市的某棉纺企业立即改造了A、B、C三条生产线，加入到口罩生产的行列，第一周A、B、C三条生产线生产的口罩数量之比为6；4：7；第二周C生产线生产的口罩数量占第二周三条生产线生产的口罩总数量的 ，C生产线两周生产的口罩数量占三条生产线两周生产的口罩总数量的 ，而这两周A生产线生产的口罩总量与B生产线生产的口罩总量之比为24：17，那么B生产线两周生产的口罩数量与A、B、C三条生产线两周生产口罩总数量之比为　 　.
19．如图，中，，点D在BC上，，且，过E作，EF交AD于点F，若，，，则DF的长　 　．
三、解答题
20．某校推行“新时代好少年 红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
21．解分式方程：
22．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元：
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？
24．已知点A（0，y）在y轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，其中y是方程的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点P在x轴正半轴上，以AP为边在第一象限内作等边APQ，连QB并延长交x轴于点C，求证OC=BC；
（3）如图2，若点M为y轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连MB，以MB为边在第一象限内作等边MBN，连NA并延长交x轴于点D，当点M运动时，DN AM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
25．某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：
甲 乙 丙
数量(个) m
批发单价(元)
（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．
（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．
当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．
当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．D
5．C
6．A
7．A
8．B
9．B
10．C
11．1
12．0
13．两人每小时共种植7颗花苗
14．且
15．m>-3，且m≠-2．
16．-1
17．4
18．17：72
19．2
20．（1）2000
（2）7
21．解：方程两边都乘以 ，得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
22．（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
23．（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，
由题意得，，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个．
24．（1）解：∵，
去分母，得
3+y-1=6，
解得y=4
经检验y=4是原方程的解
∴点A（0，4）
（2）证明：∵APQ、ABO都是等边三角形
∴AO=AB，AP=AQ，∠BAO=∠PAQ=60°
∴∠PAO=∠BAQ
∴PAOQAB（SAS）
∴∠QBA=∠POA=90°
∵ABO是等边三角形
∴∠AOB=∠ABO=60°
∴∠COB=∠CBO=30°
∴CO=BC
（3）解：结论：不变，DN AM=12
理由：∵AOB、MBN都是等边三角形
∴BO=AB=AO=4，MB=BN，∠BAO=∠ABO=∠MBN=60°
∴∠OBM=∠ABN
∴ABNOBM（SAS）
∴OM=AN，∠BAN=∠BOM=60°
∴AN=OM=OA＋AM=4＋AM
∵∠OAD=180° ∠OAB ∠BAN=60°
∴∠ADO=30°
∴AD=2AO=8
∴DN AM=AN＋AD AM=4＋AM＋8 AM=12
即DN AM的值不变，其值12
25．（1）解：由题意得：，解得，
∴，
解得：，
答：a的最小值为30；
（2）解：①由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
把代入解得；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，．

展开更多......

收起↑