资源简介

15.3.2 等边三角形
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解等边三角形的定义及其基本性质
掌握等边三角形的判定方法
能够运用等边三角形的性质解决几何问题
理解等边三角形与等腰三角形的关系
培养几何证明能力和逻辑推理能力
知识点梳理
一、等边三角形的定义
定义：三条边都相等的三角形
相关概念：
三个内角都相等
每个内角都是60°
二、等边三角形的性质
三边相等
三个内角相等，每个角都是60°
具有等腰三角形的所有性质（包括"三线合一"）
是轴对称图形，有三条对称轴（每条边的垂直平分线）
对称轴同时也是角平分线、中线和高
三、等边三角形的判定
定义法：三条边都相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是60°的等腰三角形
四、等边三角形的应用
解决几何证明问题
计算角度和边长
实际生活中的应用（如建筑结构、装饰设计等）
易错点提醒
一、概念理解错误
混淆等边三角形和等腰三角形的区别
忽视等边三角形"三线合一"的特殊性
误认为等边三角形只有一条对称轴
二、性质应用错误
错误使用等边三角形的性质
忽视60°角的特殊性质
混淆等边三角形的判定条件
三、证明过程错误
直接使用未证明的全等关系
逻辑推理不严谨
忽视已知条件的限制
四、计算错误
角度计算时忽视三角形内角和为180°
边长计算时忽视等边三角形的特殊性
忽视对称性带来的简化计算机会
知识点小结
等边三角形是三条边都相等的特殊三角形
等边三角形的三个内角都是60°
等边三角形具有等腰三角形的所有性质
等边三角形有三条对称轴
掌握等边三角形的性质对解决几何问题非常重要
学习建议
通过画图加深对等边三角形性质的理解
多做证明题练习，掌握逻辑推理方法
注意区分等边三角形和等腰三角形的异同
建立错题本，记录典型错误
从简单问题入手，逐步提高解题难度
养成标注已知条件和所求结论的好习惯
巩固练习
一、选择题
1．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2．如图，是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点．当取得最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（　　）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
4．正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
5．如图，，，为边上一点，作且，当取最小值时，（　　）
A． B． C． D．
6．将两个等边三角形△AGF和△DEF按如图方式放置在等边三角形ABC内．若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道(　　)
A．线段AD的长 B．线段EF的长 C．线段FH的长 D．线段DG的长
7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（　　）
A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值
C．当时，的周长最小 D．当时，
二、填空题
9．如图，在中，，是高，，若，则　 　．
10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　 　三角形．
11．如图，已知，点在延长线上，且，点为延长线上一点，连结，过点作的平行线交于点，若，，则的周长为　 　 ．
12．如图，在中，，，是边上的中线，则是　 　三角形．
13．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为　 　．
14．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于　 　．
15．为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：　 　．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
16．如图，ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为，．则在点P的运动过程中，线段的长的最小值是　 　．
17．如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则　 　．
三、解答题
18．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形．
19．在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
20．在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．D
5．B
6．A
7．C
8．C
9．
10．等边
11．7.5
12．等边
13．
14．
15．①②④
16．9.6
17．
18．证明：∵，，，
∴，
∴，
∴180°-∠ABE=180°-∠CAD，
即，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
19．（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
20．（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．

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