资源简介

第20届中国北方数学奥林匹克
(陕西
汉中)
第二天（2025.8.10)
得分
1.设实数x,2,x45,且c0sx+c0sx2+C0S+…+c0S45≥36.
证明：sinx+sinx2+sin为+…+sinx4s≤27、
得分
2.如图，已知ABCD与其内切圆⊙I的四个切点分别为M、N、K、L,
证明：AC、BD、MK、NL四线共点，
N
C
L
得分
3.设a,b,c都是正实数，且abc=1、证明：
Bc+3sa+b+c.
1+ab 1+bc 1+ca 2
得分
4.设出，，为，，x6是非零实数，满足对任意k∈{1,2,3，，2026}，有
+<0(其中xm=x),间名，名，西，中至多有几个数大于零？
Xk+l
得分
5.已知集合A,B中的元素都是正整数，证明：
∑(a,b)+∑(a,b)22∑.(a,b).
asA beB
其中(a,b)表示a,b的最大公约数.
得分
6.给定正整数m,n≥3，，甲乙二人在去掉四个角方格的m×n的方格表（共mn-4个方
格)中做游戏首先甲选取方格表中的若干个方格；：然后乙将方格表中的一些方格染
成黑色，其余方格为白色（甲看不见染色方式），并说出在甲所选方格中黑色方格的
个数称有公共边的两个方格是“相邻的”，若两个相邻小方格一黑一白，则称它们是“异
色对”如果甲能说对整个方格表中“异色对”的数目是奇数还是偶数，则甲获胜：否则
乙获胜.问：谁有必胜策略？

展开更多......

收起↑