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浙教版（2024）八上一周一测（二）
第1章《三角形的初步认识》阶段测试（1.4~1.7）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离．如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）
A．线段OP B．线段OQ C．线段PQ D．线段PN
3．（3分）如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
4．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
5．（3分）下列说法：①全等三角形的面积相等；②全等三角形的周长相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的对应边相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4.5，CF＝3，则BD的长是（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连结DE．若∠ADE＝44°，则∠ADB的度数是（　　）
A．68° B．69° C．71° D．72°
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
9．（3分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若BF＝5，EF＝4，CE＝7，则AD的长为（　　）
A．12 B．11 C．8 D．10
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE，下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是　 　 ，最大角是　 　 度．
12．（3分）如图，已知AB＝AC，若以“SAS“为依据证明△ABE≌△ACD，需添加一个条件是 　 　 ．
13．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则∠ABC+∠ADF+∠AEF＝ 　 　 ．
14．（3分）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x﹣1，y+1，若这两个三角形全等，则x+y的值是 　 　 ．
15．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝　 　 ．
16．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DE，S四边形ABDE＝2S△ABP．其中正确的是 　 　 ．（填序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图．已知：△ABC≌△EFC，且CF＝5cm，∠EFC＝52°，求∠A的度数和BC的长．
18．（8分）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ 　 　 ），
∴∠2＝∠3 （ 　 　 ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ 　 　 ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ 　 　 ）．
19．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．
20．（8分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝48°，∠D＝105°，求∠ACB的度数
21．（8分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是　 　 ；
（2）若△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a（a＞0）个单位的速度由点C向点A运动．设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）线段PC＝ 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）若点P，Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
24．（12分）如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）填空：∠1+∠2＝　 　 度；若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠1＝　 　 度．
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，图2中是否存在相等的锐角？若存在，试找出图中所有相等的锐角，并说明理由；若不存在，请举例说明．（不能再随意添加字母或作出其它线段）
（3）在图2中，试证明：MN＝AM+BN．
（4）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其它条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（二）
第1章《三角形的初步认识》阶段测试（1.4~1.7）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D C A B C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意；
B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项不符合题意；
D、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
2．（3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离．如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）
A．线段OP B．线段OQ C．线段PQ D．线段PN
【思路点拔】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
3．（3分）如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
【思路点拔】根据全等三角形的对应边相等可得AC＝DB，再求出AB＝CD（AD﹣BC）＝3，那么AC＝AB+BC，代入数值计算即可得解．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝8，BC＝2，
∴AB（AD﹣BC）（8﹣2）＝3，
∴AC＝AB+BC＝3+2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB＝CD是解题的关键．
4．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【思路点拔】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．
5．（3分）下列说法：①全等三角形的面积相等；②全等三角形的周长相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的对应边相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据全等三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：①全等三角形的面积相等，说法正确；
②全等三角形的周长相等，说法错误；
③全等三角形的对应角相等，说法正确；
④全等三角形的对应边相等，说法正确；
正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了对全等三角形的定义和性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4.5，CF＝3，则BD的长是（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【思路点拔】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝4.5，CF＝3，即可求线段DB的长．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4.5，
∴DB＝AB﹣AD＝4.5﹣3＝1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连结DE．若∠ADE＝44°，则∠ADB的度数是（　　）
A．68° B．69° C．71° D．72°
【思路点拔】由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠BDC＝∠BDE＝∠ADB+∠ADE，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，BE＝BC，
∴∠CBD＝∠EBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠BDC＝∠BDE＝∠ADB+∠ADE，
由平角的定义得：∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠ADB+∠ADB+44°＝180°，
∴∠ADB＝68°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
【思路点拔】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由题中作法得AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD15×4＝30．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了基本作图．
9．（3分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若BF＝5，EF＝4，CE＝7，则AD的长为（　　）
A．12 B．11 C．8 D．10
【思路点拔】由余角的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝7，BF＝DE＝5，可得AD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝7，BF＝DE＝5，
∵EF＝4，
∴AD＝AF+DF＝7+（5﹣4）＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE，下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE＝BF，∠F＝∠CED，故①正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是　10　 ，最大角是　90　 度．
【思路点拔】△ABC中，最大角为∠A＝90°，最大边是斜边BC＝10；根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边和对应角相等，则△DEF的最大边长应该是10，最大角是90°．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且∠A＝90°；
∴△DEF也是直角三角形；
即△DEF的最大角是90°；
已知△ABC的斜边BC＝10，故△DEF中最大边长是10．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，能够正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解答此类题的关键．
12．（3分）如图，已知AB＝AC，若以“SAS“为依据证明△ABE≌△ACD，需添加一个条件是 　AE＝AD　 ．
【思路点拔】根据全等三角形的判定解决此题．
【解答】解：根据题意，可添加AE＝AD，证明过程如下：
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
故答案为：AE＝AD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
13．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则∠ABC+∠ADF+∠AEF＝ 　135°　 ．
【思路点拔】利用SAS证明△ABC≌△EAF，根据全等三角形的性质求出∠ABC＝∠EAF，再结合直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（SAS），
∴∠ABC＝∠EAF，
∵∠F＝90°，
∴∠EAF+∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝90°，
∵∠F＝90°，AF＝2＝DF，
∴∠ADF＝45°，
∴∠ABC+∠ADF+∠AEF＝135°，
故答案为：135°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
14．（3分）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x﹣1，y+1，若这两个三角形全等，则x+y的值是 　11.5或13　 ．
【思路点拔】分长7的边与长为2x﹣1的边对应、分长7的边与长为y＝1的边对应两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可．
【解答】解：当一个三角形长7的边与另一个三角形长为2x﹣1的边对应时，2x﹣1＝7，y+1＝10，
解得：x＝4，y＝9，
则x+y＝4+9＝13，
当一个三角形长7的边与另一个三角形长为y+1的边对应时，2x﹣1＝10，y+1＝7，
解得：x＝5.5，y＝6，
则x+y＝5.5+6＝11.5，
综上所述：x+y的值为11.5或13，
故答案为：11.5或13．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝　40°　 ．
【思路点拔】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°．
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC．
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB∠DAB＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DE，S四边形ABDE＝2S△ABP．其中正确的是 　①②③④　 ．（填序号）
【思路点拔】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．
【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD（AAS），
∴AH＝FD，
又∵AB＝FB，
∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确．
连接HD，ED．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，
∵∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH＝S△EPD，
∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
＝S△ABP+S△APH+S△PBD
＝S△ABP+S△FPD+S△PBD
＝S△ABP+S△FBP
＝2S△ABP，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图．已知：△ABC≌△EFC，且CF＝5cm，∠EFC＝52°，求∠A的度数和BC的长．
【思路点拔】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠ECF，然后求出∠ECF＝90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠E，然后根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠E，根据全等三角形对应边相等可得BC＝CF．
【解答】解：∵△ABC≌△EFC，
∴∠ACB＝∠ECF，
∴∠ECF180°＝90°，
∵∠EFC＝52°，
∴∠E＝90°﹣52°＝38°，
∵△ABC≌△EFC，
∴∠A＝∠E＝38°，
BC＝CF＝5cm．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等求出∠ECF＝90°是解题的关键．
18．（8分）完成下列推理过程．
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （ 　对顶角相等　 ），
∴∠2＝∠3 （ 　三角形内角和是180°　 ）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （ 　等式的基本性质　 ）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ 　ASA　 ）．
【思路点拔】根据题目中的证明过程和图形，可以写出相应的依据，从而可以解答本题．
【解答】证明：∵∠E＝∠C（已知），
∠AFE＝∠DFC （对顶角相等），
∴∠2＝∠3 （三角形内角和是180°）．
∵∠1＝∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC （等式的基本性质）．
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE （ASA）．
故答案为：对顶角相等；三角形内角和是180°；等式的基本性质；ASA．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，写出括号中的依据．
19．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．
【思路点拔】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作出BD；
（2）根据SAS即可证明；
【解答】解：（1）线段AD即为所求．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△CAE（SAS）．
【点评】本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝48°，∠D＝105°，求∠ACB的度数
【思路点拔】（1）根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）根据全等三角形的性质得出对应角相等解答即可．
【解答】（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D＝105°，
∵∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣105°﹣48°＝27°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
21．（8分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是　19　 ；
（2）若△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数．
【思路点拔】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据等腰三角形的性质求出∠DAC，计算即可．
【解答】解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故答案为：19；
（2）在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝82°﹣36°＝46°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a（a＞0）个单位的速度由点C向点A运动．设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）线段PC＝ 　6﹣2t　 （用含t的代数式表示）；
（2）若点P，Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
【思路点拔】（1）依题意得BP＝2t，再根据BC＝6可得出线段PC的长；
（2）根据t＝1得BP＝CQ＝2，则PC＝BC﹣BP＝4，再根据点D为AB的中点得DB＝4，进而得DB＝CP＝4，然后依据“SAS”判定△BPD与△CQP全等即可．
【解答】解：（1）依题意得：BP＝2t，
∵BC＝6，
∴PC＝BC﹣BP＝6﹣2t，
故答案为：6﹣2t；
（2）当t＝1时，△BPD与△CQP全等，理由如下：
依题意得：BP＝2，CQ＝2，
∴BP＝CQ＝2，PC＝BC﹣BP＝4，
∵AC＝AB＝8，点D为AB的中点，
∴DBAB＝4，
∴DB＝CP＝4，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，列代数式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
24．（12分）如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）填空：∠1+∠2＝　90　 度；若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠1＝　45　 度．
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，图2中是否存在相等的锐角？若存在，试找出图中所有相等的锐角，并说明理由；若不存在，请举例说明．（不能再随意添加字母或作出其它线段）
（3）在图2中，试证明：MN＝AM+BN．
（4）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其它条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
【思路点拔】（1）根据平角的性质以及平行线的性质求解即可．
（2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等解决问题即可．
（3）证明△AMC≌△CNB（ASA），可得结论．
（4）结论：MN＝BN﹣AM．证明△AMC≌△CNB（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，∵∠ACB＝90°
∴∠1+∠2＝90°，
当AB∥MN时，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AB∥MN，
∴∠1＝∠CAB＝45°，
故答案为：90，45．
（2）解：存在．如图2中，有：∠1＝∠CBN，∠2＝∠CAM，∠CAB＝∠CBA．
理由如下：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．
在△AMC中，∠1+∠CAM+∠AMC＝180°
∴∠1+∠CAM＝90°，
同理∠2+∠CBN＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠CBN，∠2＝∠CAM，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形
∠CAB＝∠CBA．
（3）证明：如图2中，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN．
（4）解：结论：MN＝BN﹣AM．
理由：如图3中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
又∵∠NCB+∠CBN＝90°，
故∠ACM＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴CM＝BN，CN＝AM，
∴MN＝CM﹣CN＝BN﹣AM，
∴MN＝BN﹣AM．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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