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浙教版九上3.5圆周角 同步提优训练
选择题（共12小题）
题号 1 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C C A B D B D B D D C
题号 16
答案 D
1．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若的度数为100°，的度数为30°，则∠APC的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】连接OA，OC，OD，OB，AD，根据已知易得：∠AOC＝100°，∠BOD＝30°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝50°，∠BAD＝15°，然后利用三角形外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：连接OA，OC，OD，OB，AD，
∵的度数为100°，的度数为30°，
∴∠AOC＝100°，∠BOD＝30°，
∴∠ADC∠AOC＝50°，∠BAD∠BOD＝15°，
∵∠APC是△ADP的一个外角，
∴∠APC＝∠ADC+∠BAD＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
【分析】连接OC，BD，交于点G，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠CDB＝25°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠E＝25°，然后利用圆周角定理可得∠COB＝50°，再根据垂径定理可得：OC⊥BD，从而可得∠ADB＝∠OGB＝90°，进而可得AD∥OC，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得OC∥BE，从而可得∠OCF＝∠E＝25°，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：连接OC，BD，交于点G，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝115°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝25°，
∴∠CDB＝∠E＝25°，
∴∠COB＝2∠E＝50°，
∵C为弧BD的中点，
∴OC⊥BD，
∴∠OGB＝90°，
∴∠ADB＝∠OGB＝90°，
∴AD∥OC，
∵AD∥BE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝25°，
∵∠CFB是△OCF的外角，
∴∠CFB＝∠COB+∠OCF＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【分析】（1）连接AD，先根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一性质得到∠BAD＝∠CAD，进而可得结论；
（2）连接OE，根据圆周角定理求得∠BOE＝2∠BAC＝80°，进而求得∠AOE＝100°可求解．
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴；
（2）解：如图，连接OE，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BOE＝2∠BAC＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝100°，
则的度数为100°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．
4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D．求证：AD＝BD．
【分析】连接OD，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ADO＝90°，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OD，如图，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
5．已知：如图，四边形ABCD 的顶点都在⊙O上，BD平分∠ABC，且AB∥CD．求证：BC＝CD．
【分析】首先利用角平分线的性质得到∠ABD＝∠CBD，然后利用平行线的性质得到∠CDB＝∠ABD，等量代换之后利用等腰三角形的判定即可求解．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CB＝CD．
【点评】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．熟练掌握圆的有关性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）若等于，且CD＝AG，求∠G的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接OC，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出∠BOC＝45°，则∠AOC＝135°，结合圆周角定理，即可求解．
【解答】解：（1）和∠ADC相等的角是∠G．
证明如下：
∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，
∴，
∴∠G＝∠ADC．
（2）连接OC，
∵AG＝CD，
∴，
∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．
7．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，则∠BAD＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAD＝70°，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8．如图，AB，CD是⊙O的直径，E是的中点，DE⊥AB，∠CDE的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据垂径定理及圆的性质求出的度数为60°，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∵CD是⊙O的直径，
∴的度数为60°，
由圆周角定理得：∠CDE60°＝30°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，AD，CD，BC是弦，若∠C＝30°，AB＝2，则弦AD的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠A＝30°，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵AB＝2，
∴BDAB＝1，ADBD，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据已知易得：∠AOC＝∠BOC＝90°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵，AB为⊙O的直径，
∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°，
∴∠D∠AOC＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CDB＝30°，BC＝2，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．4
【分析】先利用同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB＝30°，再根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠CDB＝30°，
∴∠CAB＝∠CDB＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．12
【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，，再利用圆周角定理得到∠BOC＝45°，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE，从而得到CD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，，
∴∠BOC＝2∠BCD＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CEOC＝63，
∴CD＝2CE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：∵BD经过圆心O．
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC＝55°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°，
故选：D．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
【分析】首先连接AB，BC，由AC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ABC＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE，继而求得答案．
【解答】解：连接AB，BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE，
∴∠CAD+∠EBD+∠ACE＝∠CBD+∠EBD+∠ABE＝∠ABC＝90°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．108° C．110° D．117°
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC∠COD＝65°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC∠COD130°＝65°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，连接BC，过点O作OD∥BC，与⊙O交于点D，连接DC，若∠B＝α，则∠CDO的度数为（　　）
A． B．180°﹣α C．a D．
【分析】根据等边对等角，可得∠OCB＝∠B＝α；根据直径所对的圆周角等于90度可得∠ACB＝90，进而可得∠ACO＝90°﹣α；由平行线的性质得∠AOD＝∠B＝α；由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而求出，再根据等边对等角，即可求解．
【解答】解：连接OC，AC，
∵OC＝OB，∠B＝α，
∴∠OCB＝∠B＝α，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°﹣α，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝α，
∵，
∴，
∴，
∵OC＝OD，
∴∠CDO，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟知以上知识是解题的关键．
17．筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 　106°　 ．
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，从而求出∠AOD的度数，再由圆周角定理求出∠ABD的度数，进而求出∠DBM的度数．
【解答】解：如图，连接OA．
∵∠ADC＝16°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝32°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝148°，
∴∠ABD∠AOD＝74°，
∴∠DBM＝180°﹣∠ABD＝106°．
故答案为：106°．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠AOB的度数为 　112　 °．
【分析】先利用圆周角定理可得∠COB＝56°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠AOB＝112°，即可解答．
【解答】解：∵∠D＝28°，
∴∠COB＝2∠D＝56°，
∵AO＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOB＝2∠COB＝112°，
故答案为：112．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，OD∥BC，∠A＝24°，则∠D的度数为　33°　 ．
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B＝66°，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝24°，
∴∠B＝90°﹣24°＝66°，
∵OD∥BC，
∴∠B＝∠BOD，∠BCD＝∠D，
∵，
∴．
故答案为：33°．
【点评】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E在上．若，则的度数为 　144　 °．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠CAB+∠ABC＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠E，从而可得∠ABC∠CAB，进而可得∠CAB＝36°，然后利用圆周角定理可得∠COB＝72°，再根据垂径定理可得，从而可得∠COB＝∠BOD＝72°，最后利用角的和差关系可得∠COD＝144°，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵，∠CAB＝∠E，
∴∠ABC∠CAB，
∴∠CAB＝36°，
∴∠COB＝2∠CAB＝72°，
∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠COB＝∠BOD＝72°，
∴∠COD＝∠COB+∠BOD＝144°，
∴的度数为144°，
故答案为：144．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，且CD⊥AB于点E，连接AC，以AC，AB为边作平行四边形ABFC，连接AF，BC交于点K，则AK＝ 　　 ．
【分析】过点A作AM⊥AB于点A，交FC的延长线于点M，连接OB，由勾股定理得，由平行四边形的性质得CF＝AB＝8，CF∥AB，再证明四边形MCEA是矩形得MC＝AE＝4，∠M＝90°，MF＝MC+CF＝12，进而求得，再证明△AEK∽△FCK，利用相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：过点A作AM⊥AB于点A，交FC的延长线于点M，连接OB，
由条件可知BE＝AE＝4，OB＝OC＝OD＝5，
∴，
∴CE＝OE+OC＝8，
由条件可知CF＝AB＝8，CF∥AB，
∵AM⊥AB，CD⊥AB，
∴AM∥CD，
∴四边形MCEA是平行四边形，
∵AM⊥AB，
∴四边形MCEA是矩形，
∴MC＝AE＝4，∠M＝90°，MF＝MC+CF＝12，
∴，
∵CF∥AB，
∴△AEK∽△FCK，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC，OD．求证：OC∥AD．
【分析】由题意可得，从而得出，进而得出∠DAB∠BOD＝∠BOC即可得证．
【解答】证明：∵点C是的中点，
∴．
∴．
∴，
∴OC∥AD．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．
【分析】（1）利用垂径定理证明∠A＝∠2，再证明∠A＝∠1即可解决问题；
（2）设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠A＝∠2，
又∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6，
∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3，
设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，
在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32，
解得：，
∴⊙O的半径是．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题．
24．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若的度数为140°，求∠C的度数．
【分析】（1）连接AE，由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得出∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠B，由等边对等角得出∠AEB＝∠B，从而得出∠FAE＝∠GAF，即可得证；
（2）先求出∠BAE＝40°，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠B＝70°，最后再由平行四边形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠B，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠FAE＝∠GAF，
∴；
（2）解：∵以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G，
∴GB为⊙A的直径，
∴的度数为180°，
∵的度数为140°，
∴的度数为180°﹣140°＝40°，
∴∠BAE＝40°，
∵AB＝AE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝110°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连接AE，CE，∠CAE＝∠D．
（1）求证：AC＝CE．
（2）若∠CAB＝28°，求∠ACE的度数．
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角得∠ACB＝90°，则∠BCD＝90°，再结合BD⊥AB推出∠D＝∠CBA，利用同弧所对的圆周角相等得出∠CBA＝∠E，再结合∠CAE＝∠D，得出∠CAE＝∠E，即可证明；
（2）先在直角三角形ABC中，利用内角和得出∠CBA＝62°，则∠CAE＝∠E＝∠ABC＝62°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD+∠D＝90°，
由垂直可得∠CBD+∠CBA＝90°，
∴∠D＝∠CBA，
∵∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D，
∴∠CAE＝∠E，
∴AC＝CE；
（2）解：由条件可知∠CBA＝90°﹣28°＝62°，
∴∠CAE＝∠E＝∠ABC＝62°，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
26．如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是的中点，弦BD和CE交于点F，且DF＝DC．
（1）求证：EB＝EF；
（2）求证：；
（3）求CE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠DCF＝∠DFC，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得∠DBE＝∠EFB，即可证明EB＝EF；
（2）根据题意可得，则∠DBA＝∠DBC，再证明∠ABE＝∠ECB，即可证明；
（3）过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，利用等弧所对的圆周角相等证明△BCH是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵∠DCF＝∠DBE，∠DFC＝∠EFB，
∴∠DBE＝∠EFB，
∴EB＝EF；
（2）证明：∵D是的中点，
∴，
∴∠DBA＝∠DBC，
∵∠DBE＝∠EFB，
∴∠DBE﹣∠DBA＝∠EFB﹣∠DBC，
即∠ABE＝∠ECB，
∴；
（3）解：过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，
由（2）可知：，
∵AE＝BE，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∵AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
在等腰直角三角形BCH中，CH＝BH，
在Rt△BEH中，EH4，
∴．
【点评】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上3.5圆周角 同步提优训练
1．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若的度数为100°，的度数为30°，则∠APC的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2．如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　）
A．50° B．65° C．75° D．80°
3．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：；
（2）求的度数．
4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D．求证：AD＝BD．
5．已知：如图，四边形ABCD 的顶点都在⊙O上，BD平分∠ABC，且AB∥CD．求证：BC＝CD．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．
（2）若等于，且CD＝AG，求∠G的度数．
7．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，则∠BAD＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
8．如图，AB，CD是⊙O的直径，E是的中点，DE⊥AB，∠CDE的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
9．如图，AB是⊙O的直径，AD，CD，BC是弦，若∠C＝30°，AB＝2，则弦AD的长是（　　）
A．3 B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CDB＝30°，BC＝2，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．4
12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．12
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
14．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
15．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．108° C．110° D．117°
16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，连接BC，过点O作OD∥BC，与⊙O交于点D，连接DC，若∠B＝α，则∠CDO的度数为（　　）
A． B．180°﹣α C．a D．
17．筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA、DB，点M在AB的延长线上，若∠ADC＝16°，则∠DBM的度数为 　 　 ．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠AOB的度数为 　 　 °．
19．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，OD∥BC，∠A＝24°，则∠D的度数为　 　 ．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E在上．若，则的度数为 　 　 °．
21．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，且CD⊥AB于点E，连接AC，以AC，AB为边作平行四边形ABFC，连接AF，BC交于点K，则AK＝ 　 　 ．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC，OD．求证：OC∥AD．
23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长．
24．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若的度数为140°，求∠C的度数．
25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连接AE，CE，∠CAE＝∠D．
（1）求证：AC＝CE．
（2）若∠CAB＝28°，求∠ACE的度数．
26．如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是的中点，弦BD和CE交于点F，且DF＝DC．
（1）求证：EB＝EF；
（2）求证：；
（3）求CE的长．

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