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桃浦中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 抛物线的准线方程为 .
2. 直线：与直线：垂直，则 .
3.斜率为的直线的倾斜角为 .
4. 求直线与直线的夹角为 .
5. 直线与圆相交所得的弦长为 .
6. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为 .
7. 直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 .
8. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为 .
9. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为 .
10. 体育课上需要进行投篮测试，规定每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率均为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 .
11. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 的学生.（精确到0.1%）．
（参考数据：）
12. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
14. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ）.
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）.
A. 甲得分的极差小于乙得分的极差
B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差
16. 已知点在圆上，点在圆上，且，为坐标原点．对于以下两个命题，判断正确的是 ( )．A
①在坐标平面内存在点，使得恒成立；②三角形面积的最小值为．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题共14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知点，点在曲线上.
（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；
（2）求的最小值.
18.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第2小题满分5分)
已知圆：及直线：（）。
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；
（3）求直线被圆截得的最短弦的长及此时的直线方程。
19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某地区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．
（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
（2）根据天气预报，该地区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8.记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温；
（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望．
20.（本题共18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
(1)当直线过点，且时，求的周长；
(2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
(3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
桃浦中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 抛物线的准线方程为 .
【答案】
2. 直线：与直线：垂直，则 .
【答案】2
3.斜率为的直线的倾斜角为 .
【答案】
4. 求直线与直线的夹角为 .
【答案】
5. 直线与圆相交所得的弦长为 .
【答案】
6. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为 .
【答案】
7. 直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 .
【答案】
8. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为 . 【答案】
9. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为 .
【答案】
10. 体育课上需要进行投篮测试，规定每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率均为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 .
【答案】/
11. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______的学生（精确到0.1%）．
（参考数据：）
【答案】
12. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 .
【答案】
【解析】由题意可知，，
如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，
则，得，
在中由余弦定理可得，
，即，
则由双曲线的定义可得，得，
则，故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
14. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ）.
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】C
15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）.
A. 甲得分的极差小于乙得分的极差
B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
D. 甲得分的方差小于乙得分的方差
【答案】C
16. 已知点在圆上，点在圆上，且，为坐标原点．对于以下两个命题，判断正确的是（ ）.
①在坐标平面内存在点，使得恒成立；②三角形面积的最小值为．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题共14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知点，点在曲线上.
（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；
（2）求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】设（）, ………………1分
（1）由已知条件得…………………………2分
将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或
当时，，………………4分
只有满足条件，………………5分
所以点的坐标为………………6分
（2）其中…………………………8分
（）…………12分
当时，……………………………………14分
（不指出，扣1分）
18.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第2小题满分5分)
已知圆：及直线：（）。
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；
（3）求直线被圆截得的最短弦的长及此时的直线方程.
【答案】（1） （2）智能见解析
（3）最短弦长为，此时直线的方程为
【解析】（1）∵点在圆上∴切线的法向量为………………2分
∴切线方程为，即………………4分
（2）证法一：∵直线：（），
可化为：
∴不论取什么实数，它恒过两直线与的交点.……6分
又∵ ∴点在圆内………………8分
故不论取什么实数，直线与圆恒相交。………………9分
证法二：圆心到直线的距离.
令，则关于的方程：有实数解
于是或，解得：，即。
故不论取什么实数，直线与圆恒相交.
（3）∵直线恒过定点，∴直线被圆截得的最短弦与垂直……11分
∵，∴，.
由点法向式方程，得………………13分
故直线被圆截得最短弦的长度为，此时直线的方程为………14分
19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某地区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．
（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
（2）根据天气预报，该地区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8.记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温；
（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望．
【答案】（1） （2）最高气温是18 （3）分布列见解析，
【解析】（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以………………4分
（2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9，
因此，………………5分
设4月14日的温差为x，
则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x，因此，
………………7分
解得，因此，4月14日这天最高气温是18．………………8分
（3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天，X可能取值0，1，2.
，，
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
………………12分
随机变量X的期望.………………14分
20.（本题共18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题，椭圆离心率为，椭圆的离心率为， ………2分
解得………………4分
（2）由题，，，所以，直线的方程为，…5分
设的方程为，，，
联立直线与椭圆的方程，
代入整理得，………………6分
，可得，
由韦达定理可得，，………………7分
故
，解得.………………9分
所以的标准方程为.………………10分
（3）由题，设的方程为，
由题意，且，任取上一点（不与点重合），
则，.………………11分
设，则，
直线的方程为，故，
代入得，
因为，解得，………………13分
由对称性，不妨设，代回直线方程可解得，
而点位于上，所以
，为上任一点，所以为定值，
化简得.………………15分
设，为上任一点，即有解.
整理得，
，
解得，所以 . ………………17分
故的长轴长.………………18分
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）当直线过点，且时，求的周长；
（2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）根据双曲线定义得：, .................2分
两式相加得，即，
由已知得，所以的周长为........................4分
（2）设直线的倾斜角分别为，由已知得，......5分
不妨设，则
则可求得，..............7分
所以直线解得，直线解得
所以的面积为................................10分
（3）设，
由知若直线斜率不存在，则，
此时与点重合，不符题意，舍.....................11分
设直线方程为：与双曲线，
联立化简得，显然成立，
设交点，由韦达定理：.......12分
由得
从而，即
将韦达定理代入
化简得 （※）..................13分
因为，即，
由已知在双曲线上，得，
从而得代入（※）式
，化简得，
即解得.......................................................17分
点的坐标为.............................................18分

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