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2024-2025 学年福建省莆田八中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形 中，若 = + ，则( )
A. 为矩形 B. 是菱形
C. 是正方形 D. 是平行四边形
2.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中
′ ′ = 4， ′ ′ = 1，那么 的面积为( )
A. 4 B. 4 2
C. 8 D. 8 2
3.在△ 中，点 在线段 上，且 = 4 ， 是线段 的中点，则 =( )
A. 1 1 B. 1 3 1 1 4 4 4 4 C. 4 + 4
D. 1 4
+ 34

4.已知单位向量 , 满足 = 1 3，则 在 上的投影向量为( )
A. 13 B.
2
3 C.
4
3 D.
5
3

5 1+ .已知复数 = 1 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6.在△ 中， 2 + 2 2 + = 0，∠ =( )
A. B. C. 2 D. 5 6 3 3 6
7.底面半径为 3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为 1、高为 2 的圆锥，所得圆台的侧面
积为( )
A. 8 5 B. 9 5 C. 3 5 D. 16
8.如图，在三棱台 1 1 1中， 1 ⊥底面 ， ⊥ ， 1与底面 所成的角为 45°， = 2，
1 1 = 1 = 1，则三棱锥 1 1 1的体积为( )
A. 22
B. 24
C. 26
D. 212
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 + 25 + ( 5) ， ∈ ，则下列结论正确的是( )
A.若 = 0，则 的实部为 25 B.若 = 0，则 的虚部为 5
C.若 为实数，则 = 5 D.若 为纯虚数，则 =± 5
10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .下列各组条件中使得△ 恰有一个解的是( )
A. = 12, = 24, = 6 B. = 18, = 20, =

3
C. = 4, = 2, = 2 D. = 30, = 25, =
5
6
11.如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动点， =
= 3，则下列结论正确的是( )
A.圆锥 的侧面积为 9
B.三棱锥 体积的最大值为 9
C. ∠ 的取值范围是( 4 ,

3 )
D.若 = ， 为线段 上的动点，则 + 的最小值为 3( 3 + 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复平面上有 、 、 三点，点 对应的复数为 2 + ， 对应的复数为 1 + 2 ， 对应的复数为 3 ，
则点 的坐标为______．
13
3 + 2
.定义运算 = ，如果( + ) + ( + 3) = 1 ( 是虚数
单位)，那么实数 ， 的值分别为______．
14.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 6, = 3 3, , 分别
在棱 1 1， 上，且 1 = = 3，则以 为直径的球的表面积 = ______，
该球与侧面 1 1的交线长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， = (2, 1)， = ( ,2)， ∈ ．
(1)当( + ) ⊥ ( )时，求实数 的值；
(2)当 //( + )时，求向量 与 的夹角的余弦值．
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16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，点 为棱 1的中点．
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求异面直线 1与 所成角的大小．
17.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3， = 2，求△ 的面积 ．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥ ， // ， = = 2 = 2 = 2， ⊥底面 ， 是
上一点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 是 的中点，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图
为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处 点处固定一旗帜，从 点沿逆时针方向绕着湖
泊边缘走到 点处固定一旗帜，然后从 点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走至 点处，并在红外线测量仪的帮
助下测得∠ = 120°， = 20 米， = 10 米．
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(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若 为人工圆形湖泊优弧 上一动点(异于 ， 两点)，求四边形 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(4, 2)
13. 1，2
14.75 4 3 3
15.解：(1)已知向量 = (1,2)， = (2, 1)， = ( ,2)， ∈ ，
可得 + = (3,1), = ( , 2 ) (2, 1) = ( 2,2 + 1)，
因为( + ) ⊥ ( )，所以 3( 2) + (2 + 1) = 0 = 1；
(2) + = (1 + ,4)，
因为 //( + )，所以 8 + + 1 = 0 = 9，
所以 = ( 9,2)，
所以 cos , = 5| || | = 5× 85 =
17
17 ，
17
即向量 与 的夹角的余弦值为 17 ．
16.(1)证明：设 和 交于点 ，则 为 的中点．
连结 ，又因为 是 1的中点，所以 // 1．
又因为 平面 ， 1 平面
所以直线 1//平面 ．
(2)解：由(1)知， // 1，所以∠ 即为异面直线 1与 所成的角．
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因为 = = 1， 1 = 2
= = 12 + 12 = 2， = 12 =
2
2 且 ⊥ ，
2
所以 sin∠ = = 2 2 =
1
2．
又∠ ∈ (0°, 90°]，所以∠ = 30°
故异面直线 1与 所成角的大小为 30°．
17.解：(1)因为 = ，
所以由正弦定理可得： = ，
因为 、 ∈ (0, )，所以 > 0，
所以 = ，即 = 1，所以 = 4；
(2) 因为 = 3， = 2， = 4，
所以由余弦定理： 2 + 2 2 = 2，
得 2 + 2 2 2 × 22 = 3( > 0)，
解得： = 1 + 2，
所以 = 12 =
1 2 1+ 2
2 × 2 × (1 + 2) × 2 = 2 ．
18.解：(1)证明：在四棱锥 中， ⊥ ， / / ， = = 1，
则∠ = ∠ = 45°， = 2，
在△ 中， = 2，则 = 2 + 2 2 45° = 2，
即 2 + 2 = 4 = 2，
于是 ⊥ ，由 ⊥平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
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(2)由(1)知， ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，又 ⊥ ，
因此∠ 是二面角 的平面角，
在△ 中， ⊥ ， = 2， = 2，
则 = 6，由 是 的中点，得 = ，∠ = ∠ ，
于是 sin∠ = sin∠ = 2 = 36 3 ，
3
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 3 ．
19.(1)由题意在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠
1
= 102 + 202 2 × 10 × 20 × ( 2 )
= 700，
可得 = 10 7米，
设该人工圆形湖泊的半径为 ，
10 7 20 21
由于 2 = sin∠ = 3 = 3 ，
2
20 21
所以该人工圆形湖泊的直径为 3 米；
(2)由于∠ = 120°， = 20 米， = 10 米，
1 1 3
可得 △ = 2 ∠ = 2 × 10 × 20 × 2 = 50 3，
由于 ， ， ， 四点共圆，
可得∠ = 180° ∠ = 60°，
设 = ， = ，
可得 2 = 700 = 2 + 2 ≥ ，当且仅当 = 时取等号，
可得 1 3△ = 2 ∠ = 4 ≤
3
4 × 700 = 175 3，当且仅当 = 时取等号，
所以四边形 面积的最大值为 △ + △ = 50 3 + 175 3 = 225 3平方米．
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