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福建省泉州第一中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．“墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A．4 B． C．4 D．5
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．下列函数中，当时随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
6．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
8．已知点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点B在x轴上，顶点A在y轴上，若点C坐标为，则点A的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且，作分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是( )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
13．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点P，则的度数是 ．
14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是 ．
15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ．
16．如图，直线与轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．
求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示），共分为四组：
，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在组的数据是：82，83，86．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 90 112.2 10%
男生 88 100 200.2 50%
10名男生对《哪吒2》评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的___________，___________，___________；
(2)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在组共有多少人？
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
(1)求点的坐标及的值；
(2)若，求一次函数的表达式．
22．如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求的长．
23．在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24．综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．

(1)直接写出k，b，m的值．
(2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为．
①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示）
②当时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），于点，交于点，点在上，的平分线交于点，连接并延长与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)点在边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由；
(3)求证：．
参考答案
1．C
解：，分母为常数，不含字母，属于整式，故A不符合；
，分母为数字2，不含字母，属于整式，故B不符合；
，分母为，含字母，符合分式定义，故C符合；
，分母为数字5，不含字母，故D不符合，
故选：C．
2．B
解：∵，
故，
故选：B．
3．C
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
4．D
解：甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，
，
四位学生中这5次训练成绩最稳定的是丁，
故选：．
5．A
解：A．，，当时，函数图像在第四象限，随的增大而增大，符合题意；
B．，，随的增大而减小，不合题意；
C．，，随的增大而减小，不合题意；
D．，，当时，函数图像在第一象限，随的增大而减小，不合题意；
故选：A．
6．A
解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，
由题意得：，
故选：A．
7．A
解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：A．
8．A
解：∵将点的对应点的坐标为，
∴将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，
点的坐标为向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故选：A．
9．D
解：如图所示，过点C作轴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．

10．B
连接PF，CF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴四边形EFBC是矩形，
∴∠BFE=90°=∠AFE，DE=AF=1，
∵H为BE中点，
∴H在CF上，且也为CF中点，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BAD，即∠FAG=∠GAD=45°，
∵△AGF中，∠AFG=90°，∠FAG=45°，
∴∠FGA=45°，即△AGF是等腰直角三角形，
∵P点为AG中点，
∴PF⊥AG，即△PFC是直角三角形，
∵H为CF中点，
∴PH为Rt△PFC斜边的中线，
∴，
∵在矩形EFBC中，EF=BC=4，
又∵AF=1，
∴BF=AB-AF=4-1=3，
∴，
∴，
故选：B．
11．
解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
12．90
解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是；
故答案为：90．
13．/42度
解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形，
，，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．或
解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为4，
∴点B的横坐标为，
由函数图象可得：当或时，反比例函数的图象在正比例函数的图象上方，
∴当时，的取值范围是：或．
15．
解：如图，连接，
根据题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
可设两张等宽的纸条的宽为h，则，
∴，
∴四边形是菱形，
∴
故答案为：
16．
解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
取，则：，
∵是的角平分线，
∴垂直平分，
∴为的中点，
∴，
设直线的解析式为，则：，
解得：，
∴；
故答案为：．
17．
解：
．
18．证明见解析
证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．，
解：
，
当时，原式．
20．(1)，，
(2)
（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
（2）解：（人）
21．(1)，
(2)
（1）解：在中，令可得，解得，
点坐标为；
连接，
轴，
轴，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
，即：；
（2）点，
，
又，
在中，，
轴，
设，
，即，即，
把代入，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：．
22．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)的长为
（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴4，
23．(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元
(2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元
（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
24．(1)，，
(2)①，；②点的坐标为或
(3)点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为
（1）解：把代入，得，解得：，
即直线的解析式为：，
把代入，得，解得：，
即，
把代入，得，解得：；
（2）①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，
∴对于，当时，，可得，即：，
对于，当时，，可得，即：，
故答案为：，；
②由①知，，则，
∵，
∴，
当时，即：，解得：或，
此时，点的坐标为或；
（3）由（2）可知点的坐标为或，
当点的坐标为时，此时点，则，
∵，点在线段上，且
∴，即：，解得：，
∴，即，

当点的坐标为时，此时点，则，
∵，点在线段上，且
∴，即：，解得：，
∴，即；
综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为．
25．(1)见解析
(2)不变，
(3)见解析
（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：的大小不会变化，理由如下：
过点作，与的延长线交于点，连接，如图：
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
；
（3）证明：连接，

由（2）知，为定值，且，
是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
即．

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