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广东省深圳市福田区深圳大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法错误的是( )．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
B．两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
6．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题
9．分解因式的结果是 ．
10．用换元法解分式方程：，若设，则，原方程可化成关于y的整式方程是 ．
11．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
13．如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，．
有以下结论：
①当，时，能得到形状唯一的．
②当，时，不能得到形状唯一的．
③当，时，不能得到形状唯一的．
④当，时，能得到形状唯一的．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
14．解不等式组，并将解集在数轴上表示．
15．先化简，再求值，从、3、中选择一个合适的值代入．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
17．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
18．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
(1)求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
(2)一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
19．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
(2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于；
(3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
20．【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”．
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为正方形．
【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”．
参考答案
1．D
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
2．D
解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意；
B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
3．D
解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，
∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故选：A．
5．D
解：A中，等腰三角形的顶角角平分线、底边中线和底边高线重合，但底角的角平分线、中线和高不满足，故A错误．
B中，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，当且仅当原四边形对角线相等且垂直时才是正方形，故B错误．
C中， 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，故C错误．
D中，设正多边形边数为，由内角和公式得，正六边形每个外角为，故D正确．
故选：D．
6．C
解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故选：C．
7．D
解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，
∴，
∴，
故选D；
8．B
∵，但不一定等于，
∴不一定等于，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③错误；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而不一定等于
∴不一定等于，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②④．
故选：B．
9．
解：原式
，
故答案为：．
10．
解：因为：
所以：
设，原方程化为；，
所以去分母得：．
故答案为：．
11．
解：绕点逆时针旋转得到，
，，
等腰三角形，
，
故答案为：．
12．25
解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=8-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴BG=，
∴四边形BGDH的周长=4BG=25；
故答案为：25．
13．①②④
解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为①②④．
14．，在数轴上表示见解析
解：，
解①得x＜3，
解②得x≥-1，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为
．
15．．
解：
，
因为，，
所以当时，
原式．
16．(1)见详解
(2)40
(3)(答案不唯一)
（1）解：如下图所示：

（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
18．(1)购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
(2)该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物
（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元；
（2）设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
19．(1)秒
(2)或15秒
(3)秒或秒
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴
∴P从B运动到C，即：，，
∴，解得：，
∴当秒时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，，
∴，解得：（秒）；
若点P返回时，，，
∴，解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：如图：当时，作于H，则，，
∵，
∵，
∴，解得： 秒；
当时，，
∵，
∴，解得（秒）；
当时，，
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
20．任务一：D；任务二：（1）见解析；（2）见解析；
任务一：
解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故选：D；
任务二：
（1）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
任务三：连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．

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