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广东省深圳大学附属中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．下列图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是3010000000人一年的口粮，用科学记数法表示3010000000为（　　）
A．3.01×109 B．0.301×109 C．3.1×108 D．301×107
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A． B． C． D．
6．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形
7．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）．

A．56 B．66 C．74 D．84
8．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝ ．
10．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数表达式 ．
11．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为 ．
12．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ．
13．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．

三、解答题
14．计算：
(1)计算：
(2)先化简，再求值；其中
15．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 23 19 15 14
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率．
16．“五一”节假期间， 小亮一家到某度假村度假．小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，他爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，如图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图，请根据图回答下列问题：

（1）小亮和妈妈坐公交车的速度为 ；爸爸自驾的速度为
（2）小亮从家到度假村期间，他离家的距离与离家的时间的关系式为 ；小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，离家的距离是
（3）当小亮和妈妈与他爸爸第次相遇后，一直到全家会和为止，为多少时小亮和妈妈与爸爸相距
17．下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴ 直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
18．【操作探究】
（1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由；
（2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度
19．定义：如果，那么称为的布谷数，记为．
例如：因为，所以，
（1）根据布谷数的定义填空：
因为，所以__________．
（2）布谷数有如下运算性质：若为正整数，则，．
根据运算性质解答下列各题：
①已知，求的值；
②已知，求．
20．【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：．
证明：作的平分线交于点D．
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形
接着出示了这样一个问题：
如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答．
如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：；
【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长．
参考答案
1．D
A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．A
【详解】3010000000= ．
故选A．
3．D
解：选项A：，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C错误；
选项D：，故选项D正确.
故答案为:D.
4．C
解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示：
∴此时，
故选：C．
5．D
解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选∶D．
6．C
解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意；
D、用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
7．B
解：∵
∴，
由知，又
∴
故选：B．
8．B
解：作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接，
∵，
∴，此时周长最小，
由对称可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．．
解：∵a+b＝3，a2+b2＝6，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝32﹣6＝3，
∴ab＝．
故答案为：．
10．
解：由题意，得：；
故答案为：．
11．22
解：设袋中黑球的个数为，
根据题意得，解得，
即袋中黑球的个数为个．
故答案为：22．
12．
解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵O是两内角平分线的交点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
则O到的距离是2，
故答案为：2．
13．2或
解：∵四边形是矩形，
∴，
，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
故答案为：2或．
14．(1)19
(2)，7
（1）解：原式
；
（2）解：
，
当时，原式．
15．(1)；
(2)错误，理由见解析
(3)
（1）解:“1点朝上”的频率为；“6点朝上”的频率为；
（2）解：两位同学的说法均错误；
小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，每个点数概率都会趋于相同；
小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现5点朝上的次数不一定正好是150次；
（3）解：朝上的点数小于5的概率．
16．（1）20，60；（2），30或45；（3）或时，小亮和妈妈与爸爸相距
解：（1）由图可得，
小亮和妈妈坐公交车的速度为：60÷3=20km/h，爸爸自驾的速度为：60×（2-1）=60km/h，
故答案为：20，60；
（2）∵小亮和妈妈坐公交车的速度为20km/h，
∴小亮从家到度假村期间，他离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=20t，
当1≤t≤2时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=kt+b，则，得，
即当1≤t≤2时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=60t-60，
当2≤t≤3时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=ct+d，则
，得，
即当2≤t≤3时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=-60t+180，
令20t=60t-60，得t=1.5，此时，s=20×1.5=30，
20t=-60t+180，得t=2.25，此时s=20×2.25=45，
故答案为：，30或45；
（3）解：由题意：第2次相遇时，小明离家，离家的时间（h）为45÷20=h，
①当爸爸在回家途中当≤t≤3时，20t-（-60t+180）=10，解得，，
即小明离家，小亮和妈妈与爸爸相距
②当爸爸再次返回，3≤t≤4时，设小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：s=et+f，则
，得，
∴当3≤t≤4时，小亮爸爸离家的距离s（km）与离家的时间（h）的关系式为：
s=60t-180，
令60-（60t-180）=10，得，
即小明离家，小亮和妈妈与爸爸相距，
综上：或时，小亮和妈妈与爸爸相距．
17．（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
（1）如图：
（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
18．（1），理由见解析（2）理由见解析（3）
（1）．理由：
∵四边形是长方形，
∴．
∴ ．
∵纸片以为折痕折叠，
∴ ．
∴ ，
（2） ．理由：
由（1）已证得 ．
∵ ，
∴ ，
∵纸片以为折痕折叠，纸片沿折叠，
∴ ， ．
∴，
∴
（3）设，
的度数比的度数大，
∴．
由（1）可知
∵．
∴ ．
∵．
∴
即
解得，即．
∵纸片以为折痕折叠，
∴，
∵，
∴ ．
19．（1）10；（2）①；②3.807
（1）10；
（2）①；
②g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），
∵g（7）=2.807，g（2）=1，
∴g（14）=3.807．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）
（1）①证明：在线段上截取，使，连接，如图2所示：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：过点E作，交的延长线于点M，如图3所示：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
又∵，
∴，
由题设结论得：，
∴；
（2）证明：延长到H，使，连接，如图4所示：
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由题设结论得：，
∴；
（3）解：过点C作，交的延长线于点K，如图5所示：
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：．

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