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第二章一元二次方程单元测试卷北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．某村2022年粮食产量为8000吨，2024年达9800吨，设年增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．0
6．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
7．将方程配方后，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
8．若方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．7
9．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）
①；
②，；
③；
④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人．
12．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
13．已知关于x的一元二次方程．如果方程的两个实数根与满足，则m的值是 ．
14．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1) (2)
16．已知一元二次方程有一个根为2
(1)求c的值；
(2)求该方程的另一个根．
17．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元．
(1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
19．一元二次方程两根分别为且（）
(1)若此方程一根为1，则__________；
(2)当，时，求a，b的值；
(3)若，，且时，求证：．
20．阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ；
用换元法解方程：．
(2)间接应用：
已知实数m，n满足：，则的值
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，求的值
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A A B C D B C
二、填空题
11．【解】解：设这个微信群共有人，
依题意得：，
解得，（舍去），
故答案为：．
12．【解】解：设方程的两根为，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
∴，解得：或，
当时，原方程变形为，该方程无实数根；
当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意．
故答案为：．
13．【解】解：∵方程有两个实数根，
∴．
∴符合条件的m的值为任意实数．
∵与是一元二次方程的两个实数根，
∴，．
∴．
∵，
∴．
解得．
经检验，是分式方程的解．
∴m的值为．
故答案为：．
14．【解】解：∵，
∴当时，
，
即，
解得：，，
当时，
，
即，
解得：（舍去），，
综上，实数x的值为或0或1．
故答案为：或0或1．
三、解答题
15．【解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2）解:
，
，
∴，
∴．
16．【解】（1）解：把代入，
得，
解得，
故c的值为8．
（2）解：设该方程的另一个根为，根据题意，得，2是一元二次方程的两个根，
故，
解得，
故方程的另一个根是4．
17．【解】（1）解：设每次下降的百分率为x．
第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元．
已知两次降价后每千克32元，可得方程．
解得
当时，；
当时，（舍去）．
所以每次下降的百分率是．
（2）解：设每千克应涨价y元．
每千克盈利变为元，日销售量变为千克．
要保证每天盈利12000元，可列方程．
，
解得，．
因为每千克涨价不能超过8元，所以．
每千克应涨价5元．
18．【解】（1）证明：整理原方程得，，
，
无论为何实数，总有，从而，
即．
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程整理得，
方程的两个实数根、，
，，，
，
解得．
19．【解】（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为，
∴将代入，则，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
解得：，；
（3）解：当，且，
①
②
①－②得：
即
因，
∴，
∴
由题知：
∴即，故．
20．【解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法，
令，则，
，
解得，（舍），
，
故的值为5；
，
，
令，则，
，
解得，（舍），
，
解得；
（2）实数m，n满足：，
当时，，
当实数m，n是方程的两个不相等的实数根，
，
，
的值为2或；
（3）设，
，
，
，
整理得，
，
，
，
，
，
，
．
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