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第一章一元二次方程单元测试卷苏科版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
3．一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．
4．一元二次方程的解为：（　　）
A． B． C． D．无实数解
5．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．若一元二次方程的两根为与，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
8．某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（ ）
A． B．2025 C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③存在实数，使得；
④若是方程的一个根，则一定有成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是 ．
14．设，是方程的两实数根，则 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知关于x的方程．
(1)若这个方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一个根，求m的值．
17．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解．
18．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
19．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
20．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B D C A D B D
二、填空题
11．【解】解：设班级有名学生，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
∴班级共有41名学生．
故答案为：．
12．【解】一元二次方程中，，，，
所以，
，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以，即，
解得．
的取值范围是且；
故答案为：且．
13．【解】解：设方程的另一个根是，
由一元二次方程根和系数的关系得，，
∴，
即方程的另一个根是，
故答案为：．
14．【解】解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题
15．【解】（1）由得，
直接开平方得，，
或，
解得，；
（2）由题知，，，
，
由于，所以方程有两个不相等的实数根，
，
，；
（3）由，
变形得，
即，
或，
解得，．
16．【解】（1）解：
∴
∵这个方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一个根，
∴
解得：，
当时，原方程为
解得：
∴或．
17．【解】解：，
，
解得：，
关于的方程的解是，，
，，
方程的解为，
，
，．
18．【解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
（2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．
19．【解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
20．【解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
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