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第四章图形的相似单元测试卷（一）北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．已知（，），下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似
B．有两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似
C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似
D．有两边及其第三条边的中线对应成比例的两个三角形相似
4．已知，求（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
9．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，中，E、D是边上的三等分点，F是的中点，交、于G，H，则 ．
12．如图，，，，则 ．
13．已知，那么代数式的值是 ．
14．如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，如果，则
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图，E为上一点，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的长．
16．在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
17．如图，在矩形中，点E为的中点，点G为的中点，点F为上的一个动点，且，连接，．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
18．如图，在中，点，，，分别在，，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
(1)若，求的长；
(2)若的面积为，求的面积；
(3)【拓展提升】若的面积为，求的面积．
19．如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠
(1)若，求的长；
(2)在点由点运动到点的过程中，设，．
①求与的关系式；
②连接，求面积的最大值．
20．如图，是正方形的对角线，点，分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别交于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分；
(3)若，，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A D B D C C
二、填空题
11．【解】解：如图，过点作交延长线于点，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵E、D是边上的三等分点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
12．【解】解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：．
13．【解】解：设，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【解】解：四边形为正方形，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
15．【解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）知，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，即 ，
∴．
16．【解】（1）①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
（2）解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
17．【解】（1）解：∵点G为的中点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即．
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：∵点E为的中点，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
设，则，
∴，
解得，．
经检验，，是原方程的解且符合题意．
∴线段的长为2或4．
18．【解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故．
（2）解：由（1）可得，，
∴和的相似比是，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
即的面积为．
（3）解：由（2）可得，
∵的面积为，
故，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即和的相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故的面积．
19．【解】（1）解：在矩形中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
过点作交的延长线于，
，即，
，
，
，即，
，
，
又，，
，
，
，
，即是的中位线，
，
，
在中，，，，
，
整理，得，，
②如图，过点作于，则四边形为矩形，
，，，
,
,
由①，；
，
，
，
，
，
当时，面积的最大值为16．
20．【解】（1）证明：是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，即，
；
（2）证明：，
，
又∵，
，
，
在和中，，，
，
平分；
（3）解：如图，过点作交于点，
，
∴，
，，
易知是等腰直角三角形，
，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
是斜边上的高线，
是等腰直角三角形，
∴，
，
又，
，
，
在中，，，
∴，
在中，，
解得，
．

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