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第二十一章一元二次方程单元测试卷（二）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．将方程配方后，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
4．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为元每件的该衬衣经过两次降价降为每件元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
8．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和4，则b、c的值分别为（ ）
A．2、 B．2、8 C．、 D．、
9．关于x的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的是（ ）
；；；关于x的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
10．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为 ．
12．如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式： ．
13．已知关于的方程是一元二次方程，则 ．
14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1) (2)
16．已知关于x的方程．
(1)若这个方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一个根，求m的值．
17．某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理．
(1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？
(2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？
18．已知：关于的一元二次方程（是整数）．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
19．阅读材料：已知实数满足，且，求的值．
解：由题意知是方程的两个不相等的实数根，
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数满足，，且，求的值．
(2)已知实数分别满足，，且．求的值．
20．约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线．
(1)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(2)关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
(3)关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B C B C B C
二、填空题
11．【解】解：当时，原方程化为：，解得：，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，解得：；
∴且；
综上：．
故答案为：．
12．【解】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．【解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，解得：．
故答案为：1．
14．【解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得，
，
，，
∴经过秒或秒时，的面积等于，
故答案为：秒或秒．
三、解答题
15．【解】（1）解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
16．【解】（1）解：
∴
∵这个方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一个根，
∴
解得：，
当时，原方程为
解得：
∴或．
17．【解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元，
根据题意得，
解得，
答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元；
（2）解：设每件T恤的售价为元，则销量为，
根据题意得，，
整理得：，
解得：或，
当，，不符合题意，舍去，
答：每件T恤的售价为24元．
18．【解】（1）解：是一元二次方程，
，
，
化简得：，
是整数，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：是
在方程中，
，
当取正号时，，
当取负号时，，
是整数，
，则，
，
，，
，
是变量的函数，函数解析式为：．
19．【解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根，
故答案为：．
（2）解：把两边同时除以，得
．
又，
实数和可看作方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为：．
20．【解】（1）解：根据题意：，
∴；
（2）解：存在，
∵关于x的一元二次方程的两实根为，
∴，
∴；
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，则，
∵，
∴，符合题意；
当时，，则，
∵，
∴，不符合题意；
综上，；
（3）解：解关于x的一元二次方程，
，
解得：或，
∵，即，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵该方程的“”点为整点，
∴，都是整数，
∵，，
∴，都是整数，
令（为整数，且）且（为整数，且），
∴（为整数，且）且（为整数，且），
∴且，
∴的值为：，或，
∴或或，
∴或或（舍去），
当时，，，且，符合题意；
当时，，，且，符合题意；
综上，满足条件的m的值为或．
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