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第二十一章一元二次方程单元测试卷（A）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．若b是方程的一个解，且，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
2．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
7．若，则的值为（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
8．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程的两个根是和，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
12．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m．
13．已知a是方程的解，则代数式的值为 ．
14．关于的一元二次方程的两根记为，．若，则 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1)； (2)．
16．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
(1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率．
(2)市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
17．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值．
20．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标；
(2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A C D D A C
二、填空题
11．【解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且
∴
故答案为：．
12．【解】解：设小道进出口的宽度为，
根据题意，得：，
整理，得：．
解得或34（舍去），
所以小道进出口的宽度为．
故答案为：1．
13．【解】解：∵a是方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
14．【解】解：∵，是方程的两根，，
∴，
解得：，
当时，方程，
∴，
当时，方程，
，
∴方程无实数解，
故答案为：．
三、解答题
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，即或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
16．【解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率是．
（2）解：假设下调a个50元，
依题意得，
解得 ，则（元）
则每台冰箱的定价应为元，
答：每台冰箱的定价应为2750 元．
17．【解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，
，
该方程不是邻近根方程；
（2）解：设该方程的两个根分别为，，且，
该方程是邻近根方程，
，
，
，
解得，
，
的值为2．
18．【解】（1）证明：∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴，解得：，
∴，解得：．
19．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，．
20．【解】（1）解：解方程得，
，
， ，
，
该方程的衍生点M的坐标为；
（2）方程为，
，
，或，，
①当，即时，
衍生点M的坐标为．
∵点M在直线上，
代入得，
∴，符合题意；
②当，即时，
衍生点M的坐标为，
∵点M在直线上，
代入得，
，与矛盾，故舍去；
综上，；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
，
直线经过定点，
∴方程的衍生点M为，
即，，
，
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