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第二十一章一元二次方程单元测试卷（一）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A． B． C． D．a为任意实数
4．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．某商场为了减少某品牌服装老款的库存，将原售价为625元的该品牌服装降价，经过两次降价后现售价为361元．若两次的降价百分率均为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A． B．3或 C．3 D．0
9．已知是方程的两个实数根，则的值是（　）
A． B．4 C． D．2
10．已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
12．已知m，n是方程的两根，则＝ ．
13．若实数，满足，，，且，则 ．
14．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1)；
(2)．
16．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
(1)求第一批购入A、B两款头盔的数量；
(2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
17．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
18．已知，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
19．我们给出定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点为________．
(2)若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值．
(3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有请求出的值，若没有说明理由．
20．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B A B B A A A
二、填空题
11．【解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴

故答案为：
12．【解】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
，，
，，
．
故答案为：8．
13．【解】解：，
，
，
，
，
实数，可以看作方程的两个根，
；
故答案为：．
14．【解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
∴垂钓通道的宽度为，
故答案为：．
三、解答题
15．【解】（1）解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
或，
．
16．【解】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
17．【解】（1）解：，
∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴．
∴．
解得，．
又∵，
∴．
18．【解】（1）解：，，
原式；
（2）解：．
．
19．【解】（1）解：解方程得，
故该方程的衍生点．
故答案为：．
（2）解：解关于的一元二次方程，
得，
则或，
由过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，
得或，
解得或．
（3）解：直线，
当时，，
∴直线过定点，
∵关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，
∴点的坐标为，
故方程的两个根为，
根据一元二次方程根与系数关系，得，，
∴，．
20．【解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
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