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2024-2025 学年河北省名校联盟高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某圆锥的底面半径为 1，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为( )
A. π B. 5π C. 8π D. 10π
2i20212.复数 = 1+i (其中 为虚数单位)，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，那 与 垂直的充分条件是( )
A.四边形 为矩形 B.四边形 为菱形
C.四边形 为平行四边形 D.四边形 为梯形
4.下列说法正确的是( )
A.一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B.和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C.经过空间中三个点有且只有一个平面
D.经过两条相交直线有且只有一个平面
5.某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 75°，距离为 12 6 ；在 处看灯塔 在货轮的北偏西 30°，距离
为 8 3 .货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东 60°，则灯塔 与 处之间的距离是
( )
A. 16 3 B. 8 C. 26 6 D. 8 3
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6.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为线段 的中点.设点 在线段 1 1上，直线 与平面 1
所成的角为 ，则 sin 的取值范围是( )
A. 33 , 1 B.
2 2
3 , 1 C.
2 2 2 6
3 , 3 D. 3 , 1
7 tan .在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2 2 sin + 2 = 2，且 = 2，则tan tan
的最大值为( )
A. 5 2 B. 3 5 C. 5 1 D. 5+12 4
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 1， 1的中点，则经过点 ， ， ， ， 1的
球的表面积为( )
A. 41π B. 20π C. 10π D. 412 4 π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.棱柱的侧面都是平行四边形 B.长方体是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.圆柱的所有母线长都相等
10.2020 至 2024 年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则( )
A. 2020 至 2024 年我国快递业务量逐年增长
B. 2020 至 2024 年我国快递业务量增长速度逐年增长
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C. 2020 至 2024 年我国快递业务量每年增长量超过 200 亿件
D.估计我国 2019 年的快递业务量小于 650 亿件
11.如图：正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为 2， 是侧面 ′ ′上的一个动点(含边界)，
点 在棱 ′上，则下列结论正确的有( )
A.若| ′| = 1，沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为 17
B. = 1 41 若 ′ ，三棱锥 ′ 的外接球表面积为 4
C. 1 3 2若 ′ = 2， ′ ⊥ ，则点 的运动轨迹长度为 2
D.若 1′ = 2，平面 ′ 被正方体 ′ ′ ′
7 33
′截得截面面积为 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 (1,2, 3), (1, 1,1)，则 = ．
13.如果复数 满足| 1| = 1，那么 2i 的最大值是 ．
14.已知 是边长为 1 的等边三角形.对于空间中任意一点 ，设 为 内部(含边界)一动点，定义
的最小值为点 到 的距离.则空间中到 的距离不大于 1 的点形成的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务
次数进行统计，随机抽取 40 名职工作为样本，得到这 40 名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据
所得数据，按[0,5), [5,10), [10,15), [15,20), [20,25), [25,30]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
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(1)求图中 的值；
(2)若该单位有职工 200 人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于 15 次的总人数；
(3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．
16.(本小题 15 分)
在一个文艺比赛中，6 名观众代表和 9 名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这 6 名观众
代表对选手 的打分分别为 75，84，94，82，73，90，这 9 名专业人士对选手 的打分的平均分为 80.5，
方差为 32．
(1)求这 6 名观众代表对选手 的打分的平均分和方差；
(2)求这 6 名观众代表和 9 名专业人士对选手 的打分的平均分和方差．
17.(本小题 15 分)
在直三棱柱 1 1 1中， = 3， = 4， 1 = 2，∠ = 90°，点 为 的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求三棱锥 1 1的体积．
18.(本小题 17 分)
如图(1)，已知菱形 中 = 2，∠ = 60°，沿对角线 将其翻折，使∠ = 90°，设此时 的中
点为 ，如图(2)．
(1)求证：点 是点 在平面 上的射影；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
数学家阿波罗尼斯(约公元前 262 190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( > 0
且 ≠ 1)的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为 6 的正
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方体 ′ ′ ′ ′中，点 是 的中点，点 是正方体表面 ′ ′上一动点(包括边界)，且两
直线 ， 与平面 ′ ′所成的角相等．
(1)证明：点 的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象(不要求写出画法)；
(2) 记点 的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为 ，求 ′ 的取值范围；
(3)当线段 ′ 最短时，在线段 ′ ′上是否存在点 ，使得 ′ //平面 ，若有，请求出平面 截
正方体 ′ ′ ′ ′的截面周长，若无，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.5
13. 5 + 1/1 + 5
14.17π 36 + 2
15.解：(1)由频率分布直方图可知(0.01 + 0.03 + 0.05 + 0.08 + 2 ) × 5 = 1，解得 = 0.015．
(2)由图可知该单位参加志愿服务次数不低于 15 次的频率为(0.08 + 0.015 + 0.01) × 5 = 0.525，
则该单位参加志愿服务次数不低于 15 次的人数为 200 × 0.525 = 105．
(3)因为(0.015 + 0.03 + 0.05) × 5 = 0.475 < 0.5,0.475 + 0.08 × 5 = 0.875 > 0.5，
所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在[15,20)内．
设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为 ，则( 15) × 0.08 + 0.475 = 0.5，
解得 = 15.3125，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为 15.3125．
16.解：(1) 75+84+94+82+73+90这 6 名观众代表对选手 的打分的平均分 1 = 6 = 83，
这 6 名观众代表对选手 的打分的平均分的方差为：
2 = (75 83)
2+(84 83)2+(94 83)2+(82 83)2+(73 83)2+(90 83)2
1 6 = 56；
(2) 6 9 = 83×6+80.5×9这 名观众代表和 名专业人士对选手 的打分的平均分 6+9 = 81.5，
这 6 名观众代表和 9 名专业人士对选手 的打分的方差为：
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2
2 = 6× 56+(83 81.5) +9× 32+(80.5 81.5)
2
6+9 = 43.1．
17.(1)连接 1 交 1于点 ，连接 ，
因为 1 1为平行四边形，则 为 1 的中点，
且点 为 的中点，则 1// ，
又因为 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ．
(2)因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，
且 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，
1 3且点 为 的中点，故三棱锥 1 1的高为2 = 2，
所以三棱锥 1
1 3 1
1的体积 1 1 = 1 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × 4 = 2．
18.(1)在菱形 中 = 2，∠ = 60°，
所以 ， 均为等边三角形，
因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
又∠ = 90°，所以 = 2 + 2 = 2 2，
连接 1，则 = 2 = 2，
又因为 = = 2, = 2 2，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，所以 = 2，
又因为 = 2，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以点 是点 在平面 上的射影；
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(2)设点 到面 的距离为 ，又菱形 边长为 2，
则 的面积 1 1 3 = 2 × 2 × 2 × sin60° = 3，所以 = 3 × 3 × = 3 ；
由 1的面积 = 2 × 2 × 2 = 2，由(1)知 ⊥平面 ， = 2，
= 1 × 2 × 2 = 3 = 2 6所以 3 3 ，所以 3 ，
2 6
设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = =
3
2 =
6
3 ，
即直线 6与平面 所成角的正弦值 3 ．
19.解：(1)证明：
由于 ′ ′ ′ ′是正方体，
两直线 ， 与面 ′ ′所成的角相等，
即∠ = ∠ ，由于∠ = ∠ = 90 ，
tan∠ = tan∠ ，即 = = 2，
即 = 2 ，
依题意平面内点 到两定点 , 距离之比为 2，故点 的轨迹是圆，
而点 是正方体表面 ′ ′上一动点(包括边界)，
即点 的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧(如图所示).
(2)解：
依题意可知：圆心 在 所在的直线上，
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作圆 与 交于点 ，与 的延长线上交于点 ，显然 恰为圆 的直径，
故 = 2 ， 恰好为 线段的三分之一分点， = 2，
= 2 ，所以 是 的中点，所以 = = 6， = + = 6 + 2 = 8，
所以圆的半径为 4，从而 = 8， = 2，所以 = 4 ，

设 ′与 4所成的角为 ，可知 cos ∈ [0, 5 ]，
′ = ( ′ + ) = ′ + | |2，
= ′ | |cos + 16 = 40cos + 16，
′ ∈ [ 24, 16]；
(3)解：
由(2)可知，当线段 ′ 的长最短时，即点 在直线 ′上，
故延长 交 于点 ，过点 做 // ′，交 ′于点 ，交 ′ ′于点 ，
交 ′于点 ，连接 交 ′ ′于点 ，所求的截面即为五边形 ．
以下证明此时 ′ 即 ′ //平面 ，
由于 ′ // ， ′ 平面 ， 平面 ，
所以 ′ //平面 ，
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= = 1 ′ ′ ′ 1故有 2， = = = = 3，
在 中， = 6, = 3, = 3 5，
在 中， = 3, = 9 3 132 , = 2 ，
′ = 3 , = 2, = 5在 中， ′ 2 ′ 2，
在 ′ 中， ′ = 4, ′ = 2, = 2 5，
在 ′ 中， ′ = 4, ′ = 6, = 2 13，
所以所求的截面五边形 的周长
= + + + +
3 13 5
= 3 5 + 2 + 2 + 2 5 + 2 13
= 5 7 132 + 5 5 + 2 ．
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