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对勾函数、飘带函数、V形函数、高斯函数重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知实数，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，，已知函数，若函数的值域集合为，则下列集合不是的子集的是（ ）.
A． B． C． D．
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数在区间上单调递增
C．，均有
D．函数与的图象有9个交点
5．给定实数x，定义为不大于x的最大整数，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B．
C．是周期函数 D．是偶函数
6．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数的值域为
C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为
7．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．对任意整数，有
C．存在正实数，使得对所有成立
D．函数有2个零点
9．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增
D．函数与函数的图象没有交点
10．对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值
D．Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值
三、填空题
11．设，用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.1]＝2．函数被称为“取整函数”，也被称为“高斯函数”．已知函数，则的值域为 ．
12．高斯函数又称取整函数，是数学中的重要函数，它是用［］表示不超过的最大整数，已知数列首项为1，且，数列满足，记为数列的前项和，则 .
13．因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为 ．
14．已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
15．高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 .
四、解答题
16．设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
17．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)如果函数在上是减函数，在上是增函数，求b的值；
(2)设常数，求函数的最大值和最小值；
(3)当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由.
18．阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数．
阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制．
(1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集；
(2)设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
(1)分别求函数和的值域；
(2)若，求函数的值；
(3)若数列满足：是数列的前项和，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D D C C ABD BCD ABD
1．C
【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【详解】对，则，而，
当且仅当时取等号，因此；
当时, ，当且仅当时取等号，
所以是的充要条件.
故选：C.
2．C
【分析】根据函数解析式确定求得函数的对称中心，由此得到，化简，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，
可得，
，
所以，
即，所以函数的对称中心为，
又因为在直线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
根据基本不等式有：，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
3．A
【分析】求出时，函数值域为，再用定义法可判断为偶函数，即可求出函数的值域，再根据高斯函数的性质可得到答案.
【详解】时，，
当且仅当取等号，此时函数值域为，
由题知函数的定义域为， ，
所以为偶函数，即值域为，所以，
故选：A.
4．D
【分析】根据高斯函数的定义求出函数值域，判断A，结合单调性的定义判断B，根据函数的定义判断C，作出函数与的图象，结合对数函数性质判断D．
【详解】由取整函数的定义知，，所以，∴，故函数的值域为∴A正确；
∵时，∴时，∴在区间上单调递增，∴B正确；
∵均有，均有，∴C正确；
对于D，结合函数与的图象可知，如图，函数与的图象有8个交点，∴D错误，
故选：D．
5．D
【分析】根据新定义函数，结合函数的性质对各选项进行判断．
【详解】由定义，所以，A正确；
当时，，当时，必存在，使得，则，所以，综上，B正确；
设，，则，所以，所以是周期函数，非零整数都是它的周期．C正确；
设，由定义，，即，不是偶函数，D错．
故选：D．
【点睛】本题考查新定义，考查函数的性质，如周期性、奇偶性，解题关键是理解新定义，把新定义函数转化已学知识求解．
6．C
【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可.
【详解】对于A，因为当时，，当时，，
即，即函数不是奇函数，故A错误；
对于B，由取整函数的定义可知，，则，
即函数的值域为，故B错误；
对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且，
取，即得，即，则为整数，
又因，，
故函数的最小正周期为1，故C正确；
对于D，由可得：，解得，
而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误.
故选：C.
7．C
【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解.
【详解】由，
当时，函数在上单调递减，且，，当时，
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
可得的大致图象如下所示：
令，则化为，
当时无解，则无解；
当时，解得，由图可知有两解，即有两解；
当时有一解且，又有一个解，即有一解；
当时有两个解，即、，
又有一个解，有两个解，所以共有三个解；
当时有三个解，即，，，
无解，有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
当时有两个解，即，，
有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
综上可得的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.
8．ABD
【分析】由高斯函数的定义，可判断A；整数不影响小数部分可判断B；由的图象可判断C；由，求解可判断D.
【详解】对于A，由高斯函数的定义，是不超过的最大整数，故，A正确；
对于B，整数不影响小数部分，故，B正确；
对于C，由的图象易知C错误；

对于D，由，可得，所以，
若函数要有零点，则，得，因为要为0，
必须也为整数，在这个范围内，只有，两个点，所以D正确.
故选：ABD．
9．BCD
【分析】对于A，通过举反例即可判断结论错误；对于B，由即可求得的值域并判断；对于C，分段表示，易判断函数在上的单调性；对于D，求出函数的解析式，作出图象，数形结合即可判断.
【详解】对于A，当时， ，
且当时，，故在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误；
对于B，如图，由于，所以，所以函数的值域是，故B正确；
对于C，，满足函数单调递增的条件，故C正确；
对于D，当时，，则，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，，作出函数图象如图所示，
由图可知，函数在上的值域为,
故其与函数的图象没有交点，故D正确.
故选:BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，对于C,D两项关于函数的单调性以及有关的交点问题，关键在于写出具体的解析式，通过对解析式的分析，结合函数的图象做出判断.
10．ABD
【分析】根据题意结合图象分析判断A；根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算判断B；根据题意结合斜率公式运算求解判断C；根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果判断D.
【详解】对于A，函数图象是双曲线，由图象知：函数的图象与直线和无限接近，
但不相交，则直线和为该双曲线的渐近线，A正确；
对于B，函数图象是双曲线，由双曲线的性质知，双曲线的对称轴为其渐近线的角分线，且互相垂直，
一条对称轴的倾斜角为，由二倍角公式可得，
整理得，而，解得，
斜率，
另一条对称轴的斜率为，对应的方程分别为和，B正确；
对于C，设，直线的斜率分别为，
则，C错误；
对于D，函数，求导得，设，
则函数的图象在处切线的斜率，
切线方程为，令，得，即，则，
令，得，即，则，
因此的面积（定值），D正确．
故选：ABD

【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
①已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程．
②已知切线的斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程；
③已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程．
11．
【分析】解法一：可结合新定义分x是整数和x不是整数两种情况进行讨论即可得答案；
解答二：由新定义可知，则函数的值域可直接求得.
【详解】解法一：当x是整数时，，当x不是整数时，，所以的值域为．
解法二：因为，所以，所以函数的值域是．
故答案为：．
12．7
【分析】分析得出，利用累加法求出数列的通项公式，可化简数列的表达式，求出，结合题中定义可求得的值.
【详解】因为数列满足，且，则，
当且时，
，
也满足，故对任意的，，
故，，
当时，，则，所以，
此时，
所以
，
所以.
故答案为：.
13．/0.75
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，
所以，即
当，即时，因为，不合题意；
当即时，恒成立，所以.
所以实数的最大值为.
故答案为：
14．4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
15．
【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解.
【详解】由，得，又，
则，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
17．(1)4；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）根据题意列方程求解即可；
（2）根据题意得到的单调性，然后根据单调性和端点处函数值的大小求最值即可；
（3）利用单调性的定义和奇偶性的性质判断单调性即可.
【详解】（1），所以由题可知，，解得.
（2）因为，所以，所以在上单调递减，上单调递增，所以，
又，，所以当时，最大值为；
当时，最大值为，
综上所述，的最小值为，
当时，的最大值为，
当时，的最大值为.
（3）设，，
因为为正整数，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
的定义域为，关于原点对称，当为奇数时，，所以此时为奇函数，当为偶数时，，所以此时为偶函数，
所以当为奇数时，在，上单调递增，在，上单调递减；
当为偶数时，在，上单调递增，在，上单调递减.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可；
（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案；
（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案.
【详解】（1）设，则，
由函数为奇函数，故，即，
则，，
函数为奇函数，满足题意，
则有，设，，
解得或（舍）
即，解得，故；
（2）设，则，函数为偶函数，
故，故，，
，即，
设，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，故，
，
即，函数在上单调递减，
故，故；
（3）根据（1）（2）知：，
当时，，设，则，，
函数单调递增，，
时，，设，则，单调递增，
故，函数在上的偶函数，
故，
综上所述：，
，
当时，即，即，解得；
当时，即，即，成立，则；
当时，即，即，解得；
综上所述：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.
19．(1)，的值域为整数集
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦函数的有界性可得，而函数无界，其值域为，所以的值域为整数集；
（2）先求出与的值域，发现当且时，，当时，，由此可得函数的值；
（3）令，求得单调递减，利用单调性分析可得：，再令，利用导数可知在上单调递增，故，又当为奇偶时分别两次运用分组求和法可求得的范围，由此可得求的值.
【详解】（1）由于，所以，
由于函数的值域为，所以的值域为整数集；
（2）令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，，当时，．
由于恒成立，并且当时，，当时，．
故当且时，，当时，．
所以
（3）令，则在上单调递减，且，
，所以
依次可得：，
令，则在上恒成立．
所以在上单调递增，
故，又，
所以当为偶数时，
即，
故；
当为大于1的奇数时，
即，故．
所以
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