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函数主元法处理双变量问题 重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．b的最小值为4 B．b的最小值为6
C．b的最小值为8 D．b的最小值为10
4．设角A，B，C分别是的三个内角，则的最大值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．不存在
5．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．若正实数x，y满足，则的最大值为 ．
9．已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 .
10．在锐角中，的最小值为 ．
11．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ．
12．已知均为正实数，若，则的最小值为 .
13．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为 .
14．若a，b为实数，且，，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．求证：当且时，有．
16．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．
(1)证明“三元不等式”： ．
(2)已知函数．
①解不等式；
②对任意，恒成立，求实数的取值范围．
17．已知函数，.
(1)求证：；
(2)任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．若，，证明：．
19．设，，求证：．
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，恒成立，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C D C ACD
1．C
【分析】利用基本不等式可得最值.
【详解】根据题意，，可得，
则，
设，则，原式为，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
2．B
【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得.
【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为2.
故选：B.
3．B
【解析】转化条件得，设，，根据、分类，分别求出函数的最值即可得解.
【详解】由题意，
设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当即时，，；
当即时，，；
若要对于任意，均成立，
则即，所以b的最小值为6.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和分类讨论思想，属于中档题.
4．C
【分析】利用辅助角公式和余弦函数的性质可得正确的选项.
【详解】根据题意，
，
等号当时取得．
因此所求的最大值为．
故选：C.
5．D
【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论．
【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有0，
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∵f（1）＝1，
∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1，
若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，
即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at≥0，
设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2，
则满足，
即，
∴t≥2或t≤﹣2或t＝0，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．
6．C
【分析】利用消元的思想，将待求表达式化成关于的式子后求解.
【详解】由可得，，即，
于是，
当，即时取得等号，
即，时，的最小值为.
故选：C
7．ACD
【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
对于选项D：因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
对于选项B：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
故选：ACD.
8．
【分析】由同构可得，记，利用导数求出该函数的单调性后可得，记，由导数研究该函数的单调性后求出的最大值.
【详解】由可得，即，
记，则，
所以当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，从而，
因而，从而，
记，则，
所以当时，，故在单调递增，
当时，，故在调递减，即．
故答案为：.
9．
【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，即可求范围.
【详解】由知，故，
于是，由，知.
存在使等价于关于的方程在有解，
由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是.
故答案为：
10．
【分析】构造函数，，利用二阶导函数的符号判断函数在上为下凸函数，根据琴生不等式可求最小值.
【详解】构造函数，，则，
令，则，
所以函数在上为下凸函数．
由琴生不等式得，
即，当且仅当时等号成立．
因此在锐角中，的最小值为．
故答案为：.
11．
【分析】构造函数并求出最小值，建立不等式并用表示，再构造函数并求出最大值即可.
【详解】令，求导得，而，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
依题意，，设，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，解得，所以的最大值为.
故答案为：
12．25
【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得.
【详解】由可得，代入中，可得，
设，则，
于是，
因，当且仅当时，等号成立，
即时，取得最小值25.
故答案为：25.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值.
13．
【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可.
【详解】设，可得，
1.若，则，
可得对恒成立，
则，解得，
所以成立；
2.若，设，则，
可得对恒成立，
构建，则，
（1）若，则二次函数的图象开口向上，
可得，消去解得；
（2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴，
①当时，则在内单调递增，
可得，且，
则，解得；
②当时，则在内单调递减，
可得，且，
则，解得；
③当时，则，
整理可得，
即存在，使得，
可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
14．
【解析】构造函数，根据其在单调性，得到两边含有的不等式组，结合的范围、基本不等式，应用导数研究的最值，即可求的范围.
【详解】设，
故上单调减，
∴，
令，则，
即在上单调减，在上单调增，
有，
令，则，
即在上单调减，在上单调增，
而，，所以，
综上，有
故答案为：.
【点睛】本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围.
15．证明见解析
【分析】求出,并判断在内单调递减,然后以为主元,要证，只需证，利用导数与函数单调性关系，即可证明.
【详解】由题意得，令
，所以在内单调递减．
不妨设，要证，
只需证，，（以为主元），
则．
因为单调递减，则,
所以在内单调递增，所以，则，
即，得证．
16．(1)见解析
(2)①；②.
【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明；
（2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；
②由三元不等式求出在的最小值，可以将题意转为在恒成立，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，
则
（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
同理（当且仅当时取等），
（当且仅当时取等），
三式相加可得：，
又因为，
所以，
所以（当且仅当时取等）.
（2）①由可得：，
所以，即，
即，则，
所以，
解得：.
②因为当时，，
当且仅当，即时取等，
所以当时，，
对任意，恒成立，
则，
所以，解得：.
所以实数的取值范围为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知分别求解和的解析式，即可证明；
（2）由已知可得，由，不等式等价变形为恒成立，换元令，构造新函数设，求解的取值范围，通过求导判断函数的单调性求解最值即可得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
由，得.
因为，所以（当且仅当时取等号），故，
所以原不等式等价于恒成立.
因为，，所以，故为偶函数，
所以在上的值域等价于在上的值域.
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即.
令， 则，
设，，
则，所以在上单调递减，
所以，
因为恒成立，所以，即，
所以实数m的取值范围是.
18．证明见解析
【分析】由，得，令，通过导数求函数的单调性及最小值即可.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
从而，
设，
则，
所以在上单调递增，
又，
从而恒成立，
因为，
所以．
19．证明见解析
【分析】先证明和，然后利用放缩法证得不等式成立.
【详解】令，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增.
所以，所以，
对于，有，
整理得.
，
由，
.
20．(1)当 时， 在上单调递减；
当 时， 在 是减函数，在 是增函数.
(2).
【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案；
（2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）.
，，∴当 时，，∴ 在上单调递减；
当 时，.
令 ，解得：.
由，解得：；由，解得：.
时， 单调递减，单调递增；
综上可知：当 时， 在上单调递减；
当 时， 在 是减函数，在 是增函数.
（2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数，
，
∴，
∴（*）.
令，则，
∴在上单调递减，
又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是.
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