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2024-2025 学年广东省深圳中学高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 4 3i = 5，其中 i 为虚数单位，则| |为( )
A. 35 B.
4
5 C. 1 D. 2
2.已知向量 = 3, 1 , = 1, 1 ，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知 = 1， = 1， + = 3，则 与 的夹角为( )
A. π B. 2π3 3 C.
π 5π
6 D. 6
4.已知 , , 分别为 三个内角 , , 所对的边，若 = 60°, = 3, = 2，则 =( )
A. 45° B. 135° C. 45°或 135° D. 120°
5.若 是 的重心，且 = + ( , 为实数)，则 + =( )
A. 13 B.
2
3 C. 1 D.
4
3
6.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = 2, = π3， 的面积 = 3，则 + =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.在 中，若 = 2, = 7, = 3，则 的最大角与最小角之和是( )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
8.在△ 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，已知向量 = , cos 2 , = , cos

2 , = , cos

2 共
线，则△ 的形状为( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C. π有一个内角是6的直角三角形 D.等腰直角三角形
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1, 2为复数，则下列说法一定正确的是( )
A. 1和 1在复平面上所对应的点关于实轴对称
B. 12 = 21
C. 1 + 2 = 1 + 2
D.若 1,

2为纯虚数，则
1
为实数2
10.四边形 是边长为 1 的正方形， 是线段 上的动点(包括端点 、 )，则( )
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A. = 1
B.当 + = 时， 为 中点
C. + 的最小值为 3
D. + 的最大值为 5
11.在 中，角 , , 所对的边的长分别为 , , .若 cos = cos + ，则下列命题中正确的是( )
A. = π2
B. π若 = 2 sin ，则 = 4
C.若 = 2， 面积的最大值为 1
D. 是 内部的动点，满足∠ = ∠ = ∠ = 2π3，若| | + | | = | |，则实数 的最小值为
2 3 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若( + )2 2 = 6，且 = 60°，则 的值为 ．
13.已知向量 = 1, 3 , = 1, 3 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
14.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而
流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 37m，
在地面上点 处( , , 三点共线)测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分别为 30°和 45°，在 处测得楼顶
部 的仰角为 15°，则鹳雀楼的高度约为 m．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足 = ( 3, 1)，| | = 4．
(1)若向量 ， 的夹角为 ，求|3 3 |的值;
(2)若 // ，求向量 的坐标．
16.(本小题 15 分)
已知 中， , , 分别为内角 , , 的对边，且 2 sin = (2 + )sin + (2 + )sin ，
(1)求角 的大小；
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(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 = 3, = 6，求 的长度．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中，点 满足 = 2 ， 是线段 的中点，过点 的直线与线段 , 分别交于点 , ．
(1) 2若 = 3 ，请用向量
, 来表示向量 , ；
(2)若 = (0 ≤ ≤ 1), = (0 ≤ ≤ 1)，求 2 + 的最小值．
18.(本小题 17 分)
3
如图，已知 的面积为 1 = 4
2 + 2 2 ．
(1)求∠ 的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 = 2，求 的面积 1的取值范围；
(3)记 π 5π 的面积为 2，若 = 3 , ∠ = 26 , ∠ = 6 ，求 的值．1
19.(本小题 17 分)
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对 1, 2 1, 2 ∈ C
看作一个向量，记 = 1, 2 ，称 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知 i 为虚数单位，对于 =
1, 2 , = 3, 4 , 1, 2, 3, 4, ∈ C，记 为 的共轭复数，我们有如下运算法则：① ± = 1 ± 3, 2 ±
4 ；② = 1, 2 ；③ = 1 3 + 2 4；④ = ．
(1)设 = 2, 2 + i , = 1 + 2i, i ，求 和 2 + ；
(2)证明： = ；
(3)设集合Ω = = 1, 2 , 2 = 1 + 1, 1, 2 ∈ C ， = + i, + i , , , , ∈ R.已知 为给
定的复向量，对于任意的复向量 ∈ Ω，求 的最小值；并求当 取最小值时，对于任意的复向量
∈ ， 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.( 1 32 , 2 )
14.74
15. 2解：(1)因为 = ( 3, 1)，所以| | = 3 + 1 2 = 2，

因为向量 ， 的夹角为 ，且| 3 | = 4，
所以 = | || |cos < ， >= 2 × 4 × 12 = 4，
2
则(3 )2 = 9 2 6 + = 9 × 22 6 × 4 + 42 = 28，
故|3 | = 2 7；
(2) |
|
因为 / / ，所以 = ，则| | = | | = 2 ，
当向量 ， 同向时， = 2 = (2 3, 2)，
当向量 ， 反向时， = 2 = ( 2 3, 2)．
16.解：(1)在 中，由正弦定理及 2 sin = (2 + )sin + (2 + )sin 得：2 2 = (2 + ) + (2 + ) ，
化简可得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 cos = 2 = 2，
又 0 < < π = 2π，所以 3
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(2) π是 的角平分线，则∠ = ∠ = 3，
由 = +
1 2π 1
可得2 sin 3 = 2 × × sin
π+ 13 2 × × sin
π
3
因为 = 3， = 6，即有 18 = 6 + 3 ，
故 = 2．
17. (1) = 1 = 1解： 由图和题设条件可得： ( + 2 2 ) =
1 1 1
2 + 2 × 3

= 1 + 1 ( ) = 1 2 6 3 +
1
6
；
= = 1 3 +
1 2
6 3
= 1 + 1 3 6
．
(2)由图和 = 2 可得： = 2( )，即 = 2 1 3 + 3 ( )，
因 = (0 ≤ ≤ 1), = (0 ≤ ≤ 1)，
当 = 0 时，点 与点 重合，显然不合题意，同理 = 0 时，也不合题意.则 0 < ≤ 1,0 < ≤ 1，
由( )可得：2 = 2 3 +
1 1 13 ，即
= 3 + 6 ，
, , 1 + 1因 三点共线，故3 6 = 1，
1 1 5 5 1 3
又因 2 + = (2 + )( 3 + 6 ) = 6 + ( 3 + 3 ) ≥ 6 + 2 × 3 = 2，
1
当且仅当3 = 3 时，即 = = 2时，等号成立，
1 3
即 = = 2时，2 + 的最小值为2．
18.解：(1)在 中，由余弦定理可知： 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以 2 cos = 2 + 2 2，
因为 1 =
3
4
2 + 2 2 1 3，所以2 sin = 4 × 2 cos ，
化简得：sin = 3cos ，即 tan = 3，
因为 ∈ 0, π π，所以∠ = 3
(2)因为∠ = π3， = 2，
2sin∠
由正弦定理可得：sin∠ = sin∠ ，解得： = sin∠ ，
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∠ + ∠ + ∠ = π ∠ = π ∠ = 2 因为 ， 3，所以 3 ∠ ，
2sin 2 3 ∠ 则 = 3cos∠ +sin∠ 3sin∠ = sin∠ = tan∠ + 1，
0 < ∠ < π
又因为 2 π为锐角三角形，所以 ，则 < ∠ < π，
0 < 2π ∠ < π 6 23 2
则 tan∠ > 33 ，0 <
1
tan∠ < 3，故 1 < < 4，
又 1 =
1
2 sin
π 3 3
3 = 2 ，所以 2 < 1 < 2 3，
即 3的面积 1的取值范围为 2 , 2 3
(3)设∠ = 2π 5π，则∠ = 3 ，∠ = 6 ，∠ = ，
在 中，由正弦定理可得：sin∠ = ，①sin 2π3
在 中，由正弦定理可得：sin = sinπ，②，6
由于∠ = π3， = 3 , ∠ =
π
6，
2π 1
所以① ÷②化简可得：sin 3 sin = 4，
即 sin ( 32 cos +
1
2 sin ) =
1
4，
即 2 3sin cos + 2sin2 = 1，
即 3sin2 + 1 cos2 = 1，即 tan2 = 33 ，因为 ∈ 0,
2π
3
2 = π 2 = 7π = π = 7π所以 6或 6，解得： 12，或 12，
设 = ，则 = 3 ，
在 1中， 1 = 2 sin ，
1
在 中， 2 = 2 sin
5
6 ，
2 = = 所以 3 ，1
sin
5π sinπ 3sin 5π
由正弦定理可得： 2 = = 6 3 = 6

1 sin
π
6 sin sin
= π当 12时，sin =
6 2 5π 3π 2 2
4 ，sin 6 = sin 4 = 2 ，所以 = 3 + 31
= 7π sin = 6+ 2 sin 5π当 12时， 4 ， 6 = sin
π
4 =
2
2 ，所以
2
= 3 31
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19.解：(1)由 = 2, 2 + i , = 1 + 2i, i ，得 2 + = 5 + 2i, 4 + 3i ．
则 = 2 1 2i + 2 + i i = 2 4i 2i i2 = 3 6i，
2 + = 2 + 2 + = 5 + 2i, 4 + 3i 5 + 2i, 4 + 3i
= 5 + 2i 5 2i + 4 + 3i 4 3i = 52 2i 2 + 42 3i 2
= 25 + 4 + 16 + 9 = 3 6
综上， = 3 6i， 2 + = 3 6．
(2)由已知设 = + i, + i , = + i, + i , , , , , , , , ∈ R，
则 = + i, + i + i, + i
= + i i + + i i
= + ( )i + + + ( )i +
= + + + dq + ( + )i，
= + i, + i + i, + i
= + i i + + i i
= + ( )i + + + ( )i +
= + + + + ( + )i，
所以 = + + + ( + )i
= + + + dq + ( + )i．
综上， = 得证．
(3)令 = + i, + 1 + i , , ∈ R，又 = + i, + i , , , , ∈ R，且 ，
则 = + ( )i, 1 + ( )i ，
= + ( )i, 1 + ( )i + ( )i, 1 + ( )i
= + ( )i ( )i + 1 + ( )i 1 ( )i
= ( )2 + ( )2 + ( 1)2 + ( )2
= 2 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 1 2 2 + 2 + 2 2 + 2
= 2 2 2( + 1) + 2 2 2( + ) + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 1
+ 1 2 + 2 ( + 1)2 ( + )2
= 2 + 2 + 2 + 2 22 2 2 2 + +
2 2 + 1
+ 1 2 + 2 ( +1)2 + ( )2
= 2 2 + 2 2 + 2
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≥ ( +1)
2+( )2
2 ，当 =
+ 1 , = + 2 2 时取等号．
( +1)2+( )2
所以 min = 2 ．
当 + 1取最小值时， = 2 +
+ i, + +1 + + 2 2 2 i ，
= +1 12 + 2 i, 2 +

2 i ．
设 = + i, + 1 + i , , ∈ R，
= + 2 1 + + 2 i, + 2 1 + + 2 则 2 2 2 2 i ，

+1 1
= 2 + 2 i, 2 + 2 i
+ 2 1 + 2 + 2 1 + 2
2 + 2 i, 2 + 2 i
+1 + 2 1 + 2
= 2 + 2 i 2 2 i
1 + 2 1 + 2
+ 2 + 2 i 2 2 i = 0
( +1)
2+( )2
综上， 的最小值为 2 ，此时
的值为 0．
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