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2024-2025 学年江苏省淮安市淮阴中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 2, 1,0,1,2}, = { | = , ∈ }.则 ∩ 是( )
A. {1,2} B. { 2, 1} C. {0,1,2} D. { 2, 1,0}
2.若{ 1, 2, 3}是空间的一个基底，且 1 + 2, 2 3, 3 1 + 3共面，则实数 的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.若命题“ ∈ ，使 2 + 1 < 0”为假命题，则实数 的取值范围是( )
A. [0,4] B. (0,4)
C. ( ∞,0] ∪ [4, + ∞) D. ( ∞,0) ∪ (4, + ∞)
4.二项式( 2 )10的展开式中，则下列说法错误的是( )
A.二项式系数和为210 B.第 5 项的二项式系数最大
310C. +1各项的系数和为 1 D.奇数项系数和为 2
5.如图：在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点．若 = ， = ， 1 = ，则
下列向量中与 相等的向量是( )
A. 1 + 1 2 2 +
B. 12 +
1
2 +
C. 12
1
2
+
D. 1 1 2 2 +
6.现有 4 名同学掷一枚质地均匀且点数为 1，2，3，4，5，6 的骰子.掷出点数小于 5 的人去图书馆，掷出
点数为 5 或 6 的人去体育场，用 表示这 4 个人中去图书馆的人数，用 表示这 4 个人中去体育场的人数，
记 = | |，则 ( = 2)的值是( )
A. 8 B. 32 34 4081 81 C. 81 D. 81
7.已知函数 ( ) = + 1, < 1 22 , ≥ 1 ，若 2 ( + 1) ≤ ( + 4)，则实数 的取值范围是( )
A. ≥ 3 B. 1 ≤ ≤ 2
C. 1 ≤ ≤ 2 或 < 3 D. 1 174 ≤ ≤
17+1
4
8.甲罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球(球除颜色外，大小
质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1， 2和 3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和
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黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则下列说法正确的是( )
A.事件 1与 2相互独立 B. ( | 2) =
6
11
C. ( ) = 27 555 D. ( 1| ) = 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1
B.若随机变量 的方差为 ( ) = 1，则 (2 1) = 3
C.若随机变量 服从正态分布 (0,1)，若 ( > 1) = 0.2，则 ( 1 ≤ ≤ 0) = 0.3
D.若随机变量 (2025,0.5)，则 ( ≤ 1012) = ( ≥ 1013)
10.已知 ， 为正实数， + 2 = 1，则下列说法正确的是( )
A. 2的最大值为 B. 24 + 4
2 1的最小值为2
2 2
C. 1 + 4 1 的最小值 2 2 + 1 D. +2+ 2 +1的最小值4
11.在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥ ，∠ = 120°， = =
4， 为棱 上一点，则下列说法正确的是( )
A.点 到平面 的距离为 2
B.若 为棱 的中点，则过 ， ， 的平面截此四棱锥的截面面积为 3 3
C.四棱锥 外接球的表面积为 80
D.直线 与平面 2 7所成角的正弦值的最大值为 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( )满足 ( ) = ，则 (1) = ______．
13.将 4 个不同的小球放入编号为 1，2 的 2 个盒子中，每个盒子都有球，则不同放法的种数是______. (用
数字作答)
14.若关于 的不等式 2 3 + | 2 2 + 2| ≤ 0 有且仅有 2 个整数解，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( ) = 4 已知函数 2 , ( ) =
2 + 3．
(1)求不等式 ( ) > (0)的解集；
(2)若 = 4，集合 = { | ( ) ≤ 0}，集合 = { |1 ≤ ≤ + 2}，且“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充
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分条件，求实数 的取值范围；
(3)若不等式 ( ) ≥ 对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
国家交通运输部门对某省市高速收费站近 5 年(2021 年至 2025 年)“五一”假期首日的车流量(单位：百万
辆)进行统计处理.如表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
车流量 1.5 3 4.5 7 9
(1)从 2021 年至 2025 年的 5 年中随机抽取 3 年数据，记车流量不低于 4 百万辆的年份个数为 ，求随机变
量 的分布及期望 ( )；
(2)若 与 线性相关，求 关于 的线性回归方程，并预测该省市高速收费站 2026 年“五一”假期首日的车
流量．

参考公式和数据：线性回归方程 = + 中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为


= =1 ( )( )

2 , = ,
5
( ) =1
( )( ) = 19．
=1
17.(本小题 15 分)
如图，斜三棱柱 1 1 1中，底面△ 是正三角形， 为线段 的中点，点 在线段 上且 = 2 ，
为 1与 1 的交点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)若△ 的边长为 2， 1 ⊥平面 ，且 1与平面 所成的角为4，求二面角 1 1 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
1
设 2 ( ) = ( + 2 1)
= 2 =0 ( +
1
) , ∈ ．
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(1)若 2 3 + = 20，求
① 0， 1的值；
②2 21 + 2 2 + 23 3 + + 22 2 的值．
(2)令 2 =
2
=0 ，求 2 的表达式．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两名同学进行一场趣味运动的比赛，现有两种常见规则：
规则一是 2 + 1 局 + 1 胜制( ∈ )，率先胜利 + 1 局一方获胜，整场比赛结束；
规则二是共打满 2 局( ∈ )，至少胜利 + 1 局一方获胜．
1
每局比赛均能决出胜负，设有平局.设甲每局比赛获胜的概率均为 (0 < < 2 )．
(1)若甲、乙采用规则一，记事件 为“5 局 3 胜制比赛中甲获胜”；若甲、乙商议对规则进行修改，共打
满 2 + 1 局至少获胜 + 1 局一方胜利，记事件 为“共打满 5 局，甲至少胜利 3 局且甲获胜”.试证明：
( ) = ( )；
(2)若甲、乙采用规则二，记甲赢得整场比赛的概率为 2 ．
= 2①若 5，求 4 2的值；
②若 = 920，当 2 最大时，求 2 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.14
14.( 34 ,
2
3 ] ∪ [0,
3
2 ]
15.(1)不等式 ( ) > (0) 4 ，即为 2 > 3，
4 2(2 5)
所以 2 3 > 0， 2 > 0，
2(2 5)
所以 2 < 0，
5
解得 2 < < 2，
所以不等式 ( ) > (0) 5的解集为(2, 2 )；
(2)当 = 4 时， = { | ( ) ≤ 0} = { | 2 4 + 3 ≤ 0} = { |1 ≤ ≤ 3}，
又因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，
所以 ，
所以当 = 时，1 > + 2 1，解得 < 2；
当 ≠ 时，
≥ 12 1
则有 1 ≥ 1，解得 2 ≤ ≤ 0；
2 + ≤ 3
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综上，实数 的取值范围为( ∞,0]；
(3)由题意可得 2 + 3 ≥ 对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，
即 2 + 3 ≥ ( + 1)对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，
2+3 ( +1)2 2( +1)+4 4
所以 ≤ +1 = +1 = + 1 + +1 2 对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，
因为 + 1 + 4 4 +1 2 ≥ 2 ( + 1) +1 2 = 2，
4
当且仅当 + 1 = +1，即 = 2 时，等号成立，
所以 ≤ 2，
所以实数 的取值范围为( ∞,2]．
16.(1) 的所有可能取值为 1，2，3，且 ～ (3,3,5)，
1
( = 1) = 3
2 2 1 3
2 = 33 10 , ( = 2) =
3 2 = 6 3 3 1
5
3
5 10
= 5， ( = 3) = 3 = 10， 5
( ) = 1 × 310 + 2 ×
3 1 9
5+ 3 × 10 = 5；

(2) = 1+2+3+4+5 = 3 = 1.5+3+4.5+7+9依表得， 5 ， 5 = 5，

5 2 =1 ( ) = (1 3)
2 + (2 3)2 + (3 3)2 + (4 3)2 + (5 3)2 = 10，
5
又 = =1
( )( ) = 195 = 1.9， =1 ( )2 10

由 = = 5 1.9 × 3 = 0.7，所以 关于 的线性回归方程为 = 1.9 0.7，
当 = 6 时， = 1.9 × 6 0.7 = 10.7，
所以预测该省市高速收费站 2026 年“五一”假期首日的车流量为 10.7 百万辆．
17.解：(1)证明：连结 1，
// = = 1因为 为 的中点， 1 1， 1 ，1 1 2
= 2 1又 ，所以 = = 2，所以 // 1 1，
又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)因为△ 是边长为 2 的正三角形， 为 的中点，
1 ⊥平面 ，
则 ， ， 1 两两垂直，
以 ， ， 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴建系如图：
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因为 1与平面 所成的角为4，又 1 ⊥平面 ，
所以 1与平面

所成的角∠ 1 = 4，
又△ 是边长为 2 的正三角形， 为 的中点， 1 = = 3，
由题意知， (0, 3, 0)， ( 1,0,0)， (1,0,0)， 31(0,0, 3)． (0, 3 , 0)，
由 1 = 1，得 1(1, 3, 3)，
所以 1 1 = (1, 3, 0)， 1 = (0,0, 3)， 1 = (0,
3
3 , 3)，
设平面 1 1的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，

由 1 1 1
= 0 1 3 1 = 0
1
，即 ，可取 1 = ( 3, 1,0)， 1 = 0 3 1 = 0
同理设平面 1 1的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 1 1 = 0 2 3 2 = 0由 ，即 3 ，可取 = ( 3, 1,
1 )．
2 1 = 0 3 2 + 3 2 = 0
2 3
所以 = cos <

>= 1
2 6
1， 2 | 1|| 2|
= 37，
又 = 1 cos2 = 137，
所以二面角 1 1 的正弦值
37．
37
18.(1)由 2 3 + = 20，根据组合数公式：
2 = ( 1) , 3 = ( 1)( 2) 2 6 ，
( 1) ( 1)( 2)
代入得： 2 + 6 = 20，
通分化简：3 ( 1) + ( 1)( 2) = 120 ( 1)( + 1) = 120，
解得 = 5．
①令 = + 1 1 ，则
2 + 2 2 = 2，
故： 5( ) = ( 2 +
1 1)5 2 2 = ( 3)
5，
展开式为10 =0 ，需确定 0(
0系数)和 11( 系数)．
2 5 2 5 0：( 3) 的通项为 5( ) ( 3) .令 2(5 ) = 0，得 = 5，
故： 0 = 55( 3)5 = 243，
1：通项中 的次数为 2(5 )，必为偶数，无法取 1，故 1 = 0．
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②令 = 2(即 + 1 = 2)，则：
5( ) = (22 3)5 = 15 = 1，
又 10 10 5( ) = =0 2 ，故： =0 2 = 1，
因此：2 1 + 22 2 + . . . + 210 10 = 1 0 = 1 ( 243) = 244．
(2)令 ( ) = ( 2 3) = 2 =0
，对 求导：
′( ) = 2 ( 2 3) 1 = 2 1 =1 ，
令 = 1，则： ′(1) = 2 1 (12 3) 1 = 2 ( 2) 1，
而 ′(1) = 2 =1 = 2 ，
故： 2 = 2 ( 2) 1．
19.(1)证明： ( ) = 3 + 2 23 (1 ) + 24 2(1 )2 = 3(6 2 15 + 10)，
( ) = 3 3(1 )2 + 45 5 4(1 ) + 3 3 3 25 = (6 15 + 10)，
所以 ( ) = ( )；
(2) 2①当 = 5，甲乙比赛二局，则甲要赢 2 局，
= 2 2 2 4 1002 2( 5 ) = 25 = 625，
甲乙比赛四局，则甲要赢 3 局或 4 局才能获胜，
= 3( 2 )3 × 3 + 4( 2 )4 = 1124 4 5 5 4 5 625．
112 100 12所以 4 2 = 625 625 = 625；
②在 2 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为 + 1 局，
故 2 2 2 = = +1 2 (1 ) ，
在 2 + 2 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为 + 2 局，
( )前 2 局，甲胜 局，后 2 场甲 2 胜，概率为 1 = 2 2 (1 ) × = 2 +2(1 ) ，
( )前 2 局，甲胜 + 1 局，后 2 场甲 1 胜 1 负或者 2 胜，概率为 = +12 2 +1(1 ) 1 × [1 (1 )2]，
即 = +1 +12 2 (1 ) 1 +1 +1 +12 (1 ) ，
( )前 2 局，甲至少胜 + 2 局，概率为 = 2 3 = +2 2 (1 )
2 ，
所以， +1 +12 = 3 + 2 (1 ) 1， 2 +2 = 1 + 2 + 3，
+1 +1 12 +2 2 = 1 + 2 2 (1 )
= +2(1 ) + +1 +1(1 ) 1 +12 2 2 +1(1 ) 1 +2 +2 2 (1 )
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= +22 (1 ) +1 +1(1 ) +12 ，
+1
由 2
≥ 2 +2 ，即 2 +2
2 ≤ 0 2 (1 ) ，化简得 2
≤ 0
≥ ，2 2 2 2 2 1 ≥ 0 12 2 (1 ) 2 2 ≥ 0
9 11 +120 2 20 2 ≤ 0 9 ≤ 11 +1代入 值得 9 11 ，即
2 2 ，
1 ≥ 0 9 12 2 ≥ 11 20 2 2 20 2 2 2 2
9 11
化简得2 ≤ ≤ 2，即 = 5，故 2 = 10 时， 10最大．
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