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(共65张PPT)
3.2　离散型随机变量的方差
　
第六章　§3　离散型随机变量的均值与方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念，培养数 学抽象的核心素养.　
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问 题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一　离散型随机变量的方差
问题导思
问题.有两批灯泡，其平均寿命都是1 000 h，其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h～1 050 h；另一批灯泡一部分寿命很长，能达到1 500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.如何判断灯泡质量的好坏呢？
提示：两个随机变量的均值相同，即“平均水平”相同，但此时其取值却存在较大的差异.为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差.
新知构建
1.方差：若离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
偏离程度
方差
σX
微提醒
(1)一般地，随机变量的方差是非负常数.(2)DX越小，随机变量X越稳定，波动越小.(3)方差也可以用公式DX＝EX2－(EX)2计算.(4)若X服从两点分布，则DX＝p(1－p)(其中p为成功概率).
典例
1
X 2 3 4
P
规律方法

对点练1.(1)(2025·黑龙江哈尔滨高二期中)随机变量ξ的分布列如下表所
示，则Dξ＝　　.
ξ 1 2 3
P 1－m

ξ 1 2 3
P
(2)同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量X＝1表示结果中有正面朝
上，X＝0表示结果中没有正面朝上，则DX＝　　.
返回
任务二　方差的函数性质
已知随机变量X的分布列为
典例
2
X 0 1 x
P p
X 0 1 x
P p
规律方法
方差函数性质应用的关注点
1.公式：D(aX＋b)＝a2DX(只要求记忆，会用即可).
2.优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.
√
因为E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，所以2EX＋3＝7，22DX＝16，解得EX＝2，DX＝4.故选B.
5

返回
任务三　方差的实际应用
(链教材P208例6)甲、乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示.
典例
3
甲 答对题数X甲 0 1 2 3
概率 0.1 0.2 0.4 0.3
乙 答对题数X乙 0 1 2 3
概率 0.2 0.1 0.3 0.4
(1)求甲、乙两名同学答对题数的均值；
解：甲、乙两人答对题数的均值分别为
EX甲＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.3＝1.9，
EX乙＝0×0.2＋1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＝1.9.
(2)试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些.
解：方差分别为DX甲＝(0－1.9)2×0.1＋(1－1.9)2×0.2＋(2－1.9)2×0.4＋(3－1.9)2×0.3＝0.361＋0.162＋0.004＋0.363＝0.89，
DX乙＝(0－1.9)2×0.2＋(1－1.9)2×0.1＋(2－1.9)2×0.3＋(3－1.9)2×0.4＝0.722＋0.081＋0.003＋0.484＝1.29，
甲 答对题数X甲 0 1 2 3
概率 0.1 0.2 0.4 0.3
乙 答对题数X乙 0 1 2 3
概率 0.2 0.1 0.3 0.4
由上面的数据，可知EX甲＝EX乙，DX甲＜DX乙.
这表示甲、乙两人答对题数的均值相等，但两人答对题数的稳定程度
不同，
甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好.
规律方法
均值、方差在决策中的作用
1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
对点练3.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工，而你能获得如下
信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，可得EX1＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
DX1＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000，
EX2＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，
DX2＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为EX1＝EX2，DX1＜DX2，
所以两家单位的工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.
因此，如果希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；
如果希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位.
甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
课堂小结
任务再现 1.离散型随机变量的方差.2.方差的应用.3.D(aX＋b)＝a2DX
方法提炼 公式法、数学建模
易错警示 方差公式的计算易出现错误，混淆均值与方差的含义
返回
随堂评价
√
1.已知随机变量Y＝3X＋2，且DY＝18，则DX＝
A.2 B.4
C.6 D.8
因为随机变量Y＝3X＋2，DY＝18，所以DY＝D(3X＋2)＝32DX＝18，得DX＝2.故选A.
√
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
因为EX甲＝EX乙，且DX甲＞DX乙，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.

X 1 0
P

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课时分层评价
√
1.已知随机变量X满足D(2－2X)＝4，下列说法正确的是
A.DX＝－1 B.DX＝1
C.DX＝2 D.DX＝4
根据随机变量线性运算的方差结论，得到D(2－2X)＝4DX＝4，则DX＝1.故选B.
√
2.随机变量X的分布列如下.若EX＝1，则DX＝
A.0 B.2
C.3 D.4
X －2 1 2
P a b

X －2 1 2
P a b
√

X 0 1 2
P
√
X 1 2
P a b

√

X 1 2 3 4 6 9
P
√
√
√
7.已知随机变量X的分布列为
则σ(5X＋1)＝　　　　.
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 a 2a 0.4
8.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次
数为ξ，则ξ的方差Dξ＝　　.

ξ 2 3 4
P

10.(13分)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b.
(1)求ξ，η的分布列；
解：由题意可得2a＋0.2＋a＋0.2＝1，
解得a＝0.2；
0.3＋0.3＋2b＝1，解得b＝0.2；
所以ξ的分布列为
η的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.4 0.2 0.2 0.2
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)请根据射击环数的均值及方差来分析甲、乙的射击技术.
解：由(1)得Eξ＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2＝8.8，
Dξ＝(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2＝1.36；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ＞Eη，Dξ＞Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，但成绩没有乙稳定.
√
X 1 2
P a b

X 1 2
P a b
√
√
12.(多选题)某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元).其分布列分别为
假定同期银行利率为1.75％，下面分析合理的是
A.投资方案一一定比存入银行收益大
B.投资方案二可能比存入银行收益小
C.如果想稳赚又不想冒风险就选择方案一
D.如果想多赚又不怕风险就选择方案二
X －2 8
P 0.7 0.3
Y －3 12
P 0.7 0.3
由均值和方差的计算公式，得EX＝－2×0.7＋8×0.3＝1(万元)，EY＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5(万元)，DX＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，DY＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.由于同期银行利率为1.75％，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75％＝0.175(万元).从均值收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险，均有可能赔钱，故A错误，B正确；
X －2 8
P 0.7 0.3
Y －3 12
P 0.7 0.3
方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二.所以如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行，故C错误；如果想多赚又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二，故D正确.故选BD.
X －2 8
P 0.7 0.3
Y －3 12
P 0.7 0.3
13.(双空题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值是　　，工期延误天数Y的方差为　　　.
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
3
9.8
由已知条件和概率的加法公式知，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8，故工期延误天数Y的方差为9.8.
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
X 0 40 80 120 160
P
ξ a b
P b a
√

X 0 1 2 3 4
P
返回3.2　离散型随机变量的方差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一　离散型随机变量的方差
问题.有两批灯泡，其平均寿命都是1 000 h，其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h～1 050 h；另一批灯泡一部分寿命很长，能达到1 500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.如何判断灯泡质量的好坏呢？
提示：两个随机变量的均值相同，即“平均水平”相同，但此时其取值却存在较大的差异.为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差.
1.方差：若离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值
EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的方差.
2.标准差：DX的算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX.
[微提醒]　(1)一般地，随机变量的方差是非负常数.(2)DX越小，随机变量X越稳定，波动越小.(3)方差也可以用公式DX＝EX2－(EX)2计算.(4)若X服从两点分布，则DX＝p(1－p)(其中p为成功概率).
(2025·江苏连云港期中)袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为1，2，3，4，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码.
(1)写出X的分布列；
(2)求X的均值与方差.
解：(1)X的所有可能取值为2，3，4.
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X 2 3 4
P
(2)EX＝2×＋3×＋4×＝；
DX＝×＋×＋×＝.
故X的均值为；方差为.
求离散型随机变量的方差的步骤
第一步：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；
第二步：求出随机变量取各个值的概率；
第三步：列出分布列；
第四步：利用公式EX＝xipi求出随机变量的均值EX；
第五步：代入公式DX＝(xi－EX)2pi，求出方差DX.
对点练1.(1)(2025·黑龙江哈尔滨高二期中)随机变量ξ的分布列如下表所示，则Dξ＝　　　　.
ξ 1 2 3
P 1－m 3m2－m－
(2)同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量X＝1表示结果中有正面朝上，X＝0表示结果中没有正面朝上，则DX＝　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)由题意可得＋1－m＋3m2－m－＝1，故3m2－2m＝0，解得m＝或m＝0(舍去)，故随机变量ξ的分布列如下：
ξ 1 2 3
P
所以Eξ＝＋2×＋3×＝，Dξ＝×＋×＋×＝.
(2)由题意可知，P(X＝0)＝( )3＝，P(X＝1)＝1－＝，所以EX＝0×＋1×＝，所以DX＝×(0－)2＋×(1－)2＝.
任务二　方差的函数性质
已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若EX＝，
(1)求DX的值；
(2)若Y＝3X－2，求的值.
解：(1)由题意可得，
所以DX＝×＋×＋(2－)2×＝.
(2)因为Y＝3X－2，则DY＝9DX＝5，
所以＝.
方差函数性质应用的关注点
1.公式：D(aX＋b)＝a2DX(只要求记忆，会用即可).
2.优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.
对点练2.(1)已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是(　　)
A.EX＝，DX＝ B.EX＝2，DX＝4
C.EX＝2，DX＝8 D.EX＝，DX＝8
(2)已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝　　　　.
答案：(1)B　(2)5
解析：(1)因为E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，所以2EX＋3＝7，22DX＝16，解得EX＝2，DX＝4.故选B.
(2)因为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，所以EX＝×(1＋2＋3＋4)＝，DX＝×［(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2］＝，所以D(2X－1)＝22DX＝4×＝5.
任务三　方差的实际应用
(链教材P208例6)甲、乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示.
甲 答对题数X甲 0 1 2 3
概率 0.1 0.2 0.4 0.3
乙 答对题数X乙 0 1 2 3
概率 0.2 0.1 0.3 0.4
(1)求甲、乙两名同学答对题数的均值；
(2)试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些.
解：(1)甲、乙两人答对题数的均值分别为
EX甲＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.3＝1.9，
EX乙＝0×0.2＋1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＝1.9.
(2)方差分别为DX甲＝(0－1.9)2×0.1＋(1－1.9)2×0.2＋(2－1.9)2×0.4＋(3－1.9)2×0.3＝0.361＋0.162＋0.004＋0.363＝0.89，
DX乙＝(0－1.9)2×0.2＋(1－1.9)2×0.1＋(2－1.9)2×0.3＋(3－1.9)2×0.4＝0.722＋0.081＋0.003＋0.484＝1.29，
由上面的数据，可知EX甲＝EX乙，DX甲＜DX乙.
这表示甲、乙两人答对题数的均值相等，但两人答对题数的稳定程度不同，
甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好.
均值、方差在决策中的作用
1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
对点练3.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，可得EX1＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
DX1＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000，
EX2＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，
DX2＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为EX1＝EX2，DX1＜DX2，
所以两家单位的工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.
因此，如果希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；
如果希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位.
任务再现 1.离散型随机变量的方差.2.方差的应用.3.D(aX＋b)＝a2DX
方法提炼 公式法、数学建模
易错警示 方差公式的计算易出现错误，混淆均值与方差的含义
1.已知随机变量Y＝3X＋2，且DY＝18，则DX＝(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
答案：A
解析：因为随机变量Y＝3X＋2，DY＝18，所以DY＝D(3X＋2)＝32DX＝18，得DX＝2.故选A.
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
答案：B
解析：因为EX甲＝EX乙，且DX甲＞DX乙，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.
3.(2025·河北张家口高二期中)一批产品中次品率为5％，随机抽取一件，定义X＝则DX＝　　　　.
答案：
解析：由题意P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，可得分布列为
X 1 0
P
故EX＝1×＋0×＝，DX＝×＋×＝.
4.已知随机变量ξ的取值为1，2，3，若P(ξ＝1)与P(ξ＝3)相等，且方差Dξ＝，则P(ξ＝2)＝　　　　.
答案：
解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝p，则P(ξ＝2)＝1－2p，Eξ＝p＋2(1－2p)＋3p＝2，Dξ＝p(1－2)2＋(1－2p)(2－2)2＋p(3－2)2＝2p＝，故p＝，所以P(ξ＝2)＝1－2p＝.
课时分层评价43　离散型随机变量的方差
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知随机变量X满足D(2－2X)＝4，下列说法正确的是(　　)
A.DX＝－1 B.DX＝1
C.DX＝2 D.DX＝4
答案：B
解析：根据随机变量线性运算的方差结论，得到D(2－2X)＝4DX＝4，则DX＝1.故选B.
2.随机变量X的分布列如下.若EX＝1，则DX＝(　　)
X －2 1 2
P a b
A.0 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：由题意可知，所以DX＝(－2－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝2.故选B.
3.投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差DX＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：X的分布列为
X 0 1 2
P
故EX＝＝，DX＝×＋×＋×＝.故选A.
4.已知随机变量X的分布列为
X 1 2
P a b
则随机变量X的方差DX的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案：A
解析：由题意可得0≤a≤1，0≤b≤1，a＋b＝1，EX＝a＋2b＝1＋b，则DX＝[1－(1＋b)]2×a＋[2－(1＋b)]2×b＝－b2＋b，当b＝时，DX有最大值为.故选A.
5.甲乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1，2，3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为DX，则D＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意可得X的可能取值为1，2，3，4，6，9，
其分布列为
X 1 2 3 4 6 9
P
所以EX＝＋＋＋＋＋＝4，DX＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(6－4)2×＋(9－4)2×＝，所以D(2X－1)＝22×＝.故选C.
6.(多选题)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n(n∈N＋)，并且取1，2，…，n是等可能的.若P(X≤3)＝，则下列结论正确的是(　　)
A.n＝9 B.P(X＝1)＝0.1
C.EX＝5 D.DX＝
答案：ACD
解析：由题意知，P(X＝k)＝，k＝1，…，n，则P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，解得n＝9，故A正确；因此P(X＝1)＝，故B错误；EX＝×＝5，故C正确；DX＝×(k－EX)2＝，故D正确.故选ACD.
7.已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 a 2a 0.4
则σ(5X＋1)＝　　　　.
答案：
解析：由0.1＋0.2＋a＋2a＋0.4＝1，得a＝0.1，所以EX＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＝0.6，DX＝(－2－0.6)2×0.1＋(－1－0.6)2×0.2＋(0－0.6)2×0.1＋(1－0.6)2×0.2＋(2－0.6)2×0.4＝2.04，D(5X＋1)＝25DX＝51，所以σ(5X＋1)＝＝.
8.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差Dξ＝　　　　.
答案：
解析：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有2，3，4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ 2 3 4
P
所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝，因此Dξ＝×＋×＋×＝.
9.(2025·辽宁辽阳期末)已知某人每次投篮的命中率为p(0＜p＜1)，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为　　　　.
答案：2－2
解析：由题意可知，X服从两点分布，可得EX＝p，0＜p＜1，DX＝(1－p)p，则＝＝2－2p－＝2－≤2－2＝2－2，当且仅当2p＝，即p＝时，等号成立，故的最大值为2－2.
10.(13分)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)请根据射击环数的均值及方差来分析甲、乙的射击技术.
解：(1)由题意可得2a＋0.2＋a＋0.2＝1，
解得a＝0.2；
0.3＋0.3＋2b＝1，解得b＝0.2；
所以ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.4 0.2 0.2 0.2
η的分布列为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得Eξ＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2＝8.8，
Dξ＝(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2＝1.36；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ＞Eη，Dξ＞Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，但成绩没有乙稳定.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2
P a b
则EX＝是DX＝的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由题意可知a＋b＝1，若EX＝，则a＋2b＝，得a＝，b＝，DX＝×＋(2－)2×＝，故充分性满足；若DX＝，则a＋b＝ab2＋b＝－b2＋b＝，解得b＝或b＝.当b＝时，a＝，此时EX＝1×＋2×＝，当b＝时，a＝，此时EX＝1×＋2×＝，则EX＝或EX＝，故必要性不满足.故选A.
12.(多选题)某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元).其分布列分别为
X －2 8
P 0.7 0.3
Y －3 12
P 0.7 0.3
假定同期银行利率为1.75％，下面分析合理的是(　　)
A.投资方案一一定比存入银行收益大
B.投资方案二可能比存入银行收益小
C.如果想稳赚又不想冒风险就选择方案一
D.如果想多赚又不怕风险就选择方案二
答案：BD
解析：由均值和方差的计算公式，得EX＝－2×0.7＋8×0.3＝1(万元)，EY＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5(万元)，DX＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，DY＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.由于同期银行利率为1.75％，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75％＝0.175(万元).从均值收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险，均有可能赔钱，故A错误，B正确；方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二.所以如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行，故C错误；如果想多赚又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二，故D正确.故选BD.
13.(双空题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值是　　　　，工期延误天数Y的方差为　　　　.
答案：3　9.8
解析：由已知条件和概率的加法公式知，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8，故工期延误天数Y的方差为9.8.
14.(15分)某滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1 h免费，超过1 h的部分每小时收费标准为40元(不足1 h的部分按1 h计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1 h离开的概率分别为，；1 h以上且不超过2 h离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3 h.设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X，求X的分布列与均值EX，方差DX.
解：甲、乙两人2 h以上且不超过3 h离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.
X的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(X＝0)＝×＝，
P＝×＋×＝，
P＝×＋×＋×＝，
P＝×＋×＝，
P＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 40 80 120 160
P
EX＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
DX＝×＋×＋(80－80)2×＋×＋×＝.
15.(5分)(创新题)已知随机变量ξ的分布列为
ξ a b
P b a
则下列说法不正确的是(　　)
A. a，b∈(0，1)，Eξ≤
B. a，b∈(0，1)，Dξ＝Eξ2－(Eξ)2
C. a，b∈(0，1)，Dξ＞
D. a，b∈(0，1)，Dξ＞Eξ
答案：C
解析：由题意a＋b＝1，a，b∈(0，1)，对于A，Eξ＝ab＋ba＝2ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；对于B，一方面Dξ＝·b＋·a＝ab－4(ab)2，另一方面Eξ2＝a2b＋b2a＝ab＝ab，所以Eξ2－(Eξ)2＝ab－＝Dξ，故B正确；对于C，Dξ＝ab－4(ab)2＝－4＋≤，故C错误；对于D，由Dξ－Eξ＝ab－4(ab)2－ab＝ab－4(ab)2＞0得0＜ab＜，满足条件的a，b存在，故D正确.故选C.
16.(17分)(2025·江苏扬州高二期中)元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目.
(1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和均值、方差.
解：(1)设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝＝，
所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为.
(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
DX＝×＋×＋×＋×＋×＝.
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