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(共59张PPT)
2.1　排列与排列数
2.2　排列数公式
　
第五章　§2　排列问题
学习目标
1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心 素养.
2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应 用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推 理、数学运算的核心素养.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数 学建模的核心素养.
任务一　排列与排列数的概念
问题导思
新知构建
排列与排列数的概念
排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照____________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数
排列问题 把有关求____________的问题叫作排列问题
一定的顺序
个数

排列的个数
微提醒
(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.(3)m＝n时叫全排列.
(多选题)下列问题属于排列问题的是
A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B.从10人中选2人去游泳
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
典例
1
√
√
对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.故选AD.
规律方法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
主要从“取”与“排”两方面考虑：
1.“取”，检验取出的m个元素是否重复.
2.“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
√
对点练1.(多选题)下列问题不是排列问题的是
A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B.会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
D.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量
√
对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题；对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题；对于C，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题；对于D，确定向量涉及顺序问题，是排列问题.故选AC.
返回
任务二　排列数公式
问题导思
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示.
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
新知构建
n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]
n！
1
1
微提醒
(1)乘积是m个连续正整数的乘积.(2)第一个数最大，是A的下标n.(3)第m个数最小，是n－(m－1).
典例
2
√
5 040
8！－8×7！＋7×6！＝8！－8！＋7！＝5 040.

规律方法
返回
任务三　排列与排列数、排列数公式的综合应用
角度1　简单的排列问题
(链教材P165例1)(1)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来.
解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种).
画出树形图.
典例
3
规律方法
求简单排列数的两种方法
1.利用“树形图”法：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.
规律方法
对点练3.(1)从0，1，2，3这4个数字中，每次取出3个数排成一个三位数，写出所有的三位数.
解：(树形图法)
所有的三位数有102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321，共18个.
28
√
典例
4
√
√


规律方法
√

课堂小结
任务再现 1.排列的定义.2.排列数、排列数公式.3.全排列、阶乘.4.排列与排列数、排列数公式的综合应用
方法提炼 直接法、优先法、间接法
易错警示
返回
随堂评价
√
1.下列问题是排列问题的是
A.10名同学聚会，每两人握手一次，一共握多少次手？
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
对于A，握手次数与顺序无关，因而不是排列问题；对于B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题；对于C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点，即可确定1条直线，这2个点不分顺序，所以不是排列问题；对于D，从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，因为加法满足交换律，所以两个数字不分顺序，所以不是排列问题.故选B.
√
2.从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
用树形图表示为：

由此可知共有12个.故选B.
8
返回
课时分层评价
√
√
√
3.从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是
A.18 B.21
C.30 D.36
√
4.为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择.若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有
A.60种 B.80种
C.120种 D.150种
√
5.(多选题)下列选项中，属于排列问题的是
A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种
选法
B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D.从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
√
√
对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确.故选ACD.
√
√
√

6

18或22
√
11.计算0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数，其个位数字是
A.2 B.3
C.4 D.5
根据题意，5！＝5×4×3×2×1＝120，6！＝6×5×4×3×2×1＝720，由于5！，6！，…，100！中都有2×5，则从5开始阶乘的个位全部是0，只用看0！＋1！＋2！＋3！＋4！的个位即可.又由0！＋1！＋2！＋3！＋4！＝34，即0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数的个位数字是4.故选C.
√
13.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了58种，则m＋n＝　　.
16

√
依题意得，(n＋1)！≥3 000，因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，所以n的最小值是6.故选B.
返回§2　排列问题
2.1　排列与排列数　2.2　排列数公式
学习目标 1.通过实例，理解并掌握排列的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式，能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用排列知识解决简单的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一　排列与排列数的概念
从1，2，3三个数字中，任选两个做除法.
问题1.用枚举法写出所有不同的结果.
提示：，，，，，.
问题2.，结果不同，这说明什么问题？
提示：选出的元素与顺序有关.
排列与排列数的概念
排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作
排列问题 把有关求排列的个数的问题叫作排列问题
[微提醒]　(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.(3)m＝n时叫全排列.
(多选题)下列问题属于排列问题的是(　　)
A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B.从10人中选2人去游泳
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
答案：AD
解析：对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题.故选AD.
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
主要从“取”与“排”两方面考虑：
1.“取”，检验取出的m个元素是否重复.
2.“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
对点练1.(多选题)下列问题不是排列问题的是(　　)
A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B.会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
D.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量
答案：AC
解析：对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题；对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题；对于C，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题；对于D，确定向量涉及顺序问题，是排列问题.故选AC.
任务二　排列数公式
问题3.如何计算从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数？
提示：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示.
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.
排列数公式
(1)＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)].
(2)＝n！(读作n的阶乘)；规定：＝1；0！＝1.
(3)＝.
[微提醒]　(1)乘积是m个连续正整数的乘积.(2)第一个数最大，是A的下标n.(3)第m个数最小，是n－(m－1).
(链教材P167例2)(1)(x－2)(x－3)(x－4)…(x－16)(x∈N＋，x＞16)可表示为(　　)
A. B.
C. D.
(2)计算－8＋7＝　　　　；
(3)计算＝　　　　.
答案：(1)B　(2)5 040　(3)
解析：(1)因为－＋1＝15，x∈N＋且x＞16，所以＝.故选B.
(2)8！－8×7！＋7×6！＝8！－8！＋7！＝5 040.
(3)＝＝＝＝.
1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.
2.＝n(n－1)·…·(n－m＋1)是m个连续自然数之积，其中n是最大的数，n－m＋1是最小的数，要会根据排列数公式的特征逆用.
对点练2.(1)计算.
(2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55).
解：(1)＝10×9×8＝720.
(2)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有－＋1＝15(个)数，
所以＝.
任务三　排列与排列数、排列数公式的综合应用
角度1　简单的排列问题
(链教材P165例1)(1)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来.
(2)从3，5，7，8中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能构成多少个不同的对数值？
解：(1)先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种).
画出树形图.
(2)选出的任意两个数分别作为对数的底数与真数时，构成的对数值是不一样的，因此是一个有序问题，应用排列去解.故能构成＝4×3＝12(个)不同的对数值.
[变式探究]
(变条件)若将本例第(2)小题中的“3，5，7，8”改为“2，3，4，9”，能构成多少个不同的对数值？
解：由于log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，故能构成－4＝4×3－4＝8(个)不同的对数值.
求简单排列数的两种方法
1.利用“树形图”法：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.
2.利用排列数公式：如果是排列问题，分析问题中n个不同元素指的是什么，m个元素指的是什么，从n个不同元素中每次取出m个元素的每一个排列对应着问题里的什么事件，最后根据排列数公式＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)进行计算，但要注意应剔除有重复的排列.
对点练3.(1)从0，1，2，3这4个数字中，每次取出3个数排成一个三位数，写出所有的三位数.
解：(树形图法)
所有的三位数有102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321，共18个.
(2)从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＝0中的系数A，B，则所得直线有　　　　条.
答案：28
解析：从集合中任取2个数作为A，B，共有＝30种情况，但是A，B取1，3对应的直线与A，B取3，9对应的直线相同，所以所得直线有－2＝28条.
角度2　利用排列数公式化简与证明
(1)(多选题)下列等式中，成立的有(　　)
A.＝n B.＝m
C.＝ D.＋m＝
(2)不等式3＋12≤11，其中x∈N＋的解集为　　　　　.
答案：(1)ACD　(2)
解析：(1)对于A，＝＝＝n，故A正确；对于B，＝，而m＝m·＝，故B错误；对于C，＝·＝＝，故C正确；对于D，＋m＝＋＝＝＝，故D正确.故选ACD.
(2)由题知，x≥2，且x∈N＋，又3＋12≤11 3＋12x≤11(x＋1)x，即2x2－7x＋3≤0，解得≤x≤3，故x＝2或x＝3，所以，原不等式的解集为.
1.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
2.常见技巧
(1)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(2)＝－.
(3)＝n.
对点练4.(1)已知3＝4，则x等于(　　)
A.6 B.13
C.6或13 　D.12
答案：A
解析：由题意得3×＝4×，化简可得3＝4×，解得x＝13或6，因为所以x≤8且x∈N＋，故x＝6.故选A.
(2)①证明：－＝；
②化简：＋＋＋…＋.
解：①证明：左边＝－＝－＝＝右边，
所以得证.
②原式＝＋＋…＋( －)＝1－.
任务再现 1.排列的定义.2.排列数、排列数公式.3.全排列、阶乘.4.排列与排列数、排列数公式的综合应用
方法提炼 直接法、优先法、间接法
易错警示 排列的定义不明确.忽视中“n，m∈N＋”这个条件
1.下列问题是排列问题的是(　　)
A.10名同学聚会，每两人握手一次，一共握多少次手？
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
答案：B
解析：对于A，握手次数与顺序无关，因而不是排列问题；对于B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题；对于C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点，即可确定1条直线，这2个点不分顺序，所以不是排列问题；对于D，从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，因为加法满足交换律，所以两个数字不分顺序，所以不是排列问题.故选B.
2.从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有(　　)
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
答案：B
解析：用树形图表示为：
由此可知共有12个.故选B.
3.若＝10，则正整数n＝　　　　.
答案：8
解析：因为＝10，所以2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，且n≥3，n∈N＋整理得到4n－2＝5(n－2)，解得n＝8.
4.求证：＝＝(n＋1).
证明：＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2，
(n＋1)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，
综上，＝＝(n＋1).
课时分层评价32　排列与排列数　排列数公式
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若＝20，则n＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解析：由＝20，得n＝20，解得n＝5(n＝－4舍去).故选C.
2.88×89×90×91×…×100可以表示为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：88×89×90×91×…×100＝.故选D.
3.从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是(　　)
A.18 B.21
C.30 D.36
答案：C
解析：因为这6个数两两互质，从中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其结果互不相等；所以其商的个数是＝30.故选C.
4.为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择.若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有(　　)
A.60种 B.80种
C.120种 D.150种
答案：C
解析：甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同，则选法共有＝6×5×4＝120种.故选C.
5.(多选题)下列选项中，属于排列问题的是(　　)
A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D.从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
答案：ACD
解析：对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确.故选ACD.
6.(多选题)下列等式中成立的是(　　)
A.＝(n－2) B.＝
C.n＝ D.＝
答案：ACD
解析：对于A，＝n＝，故A正确；对于B，＝，＝，当n＞2时，≠，故B错误；对于C，n＝n·(n－1)！＝n！＝，故C正确；对于D，＝·＝＝，故D正确.故选ACD.
7.若＋＝50，则n＝　　　　　.
答案：6
解析：由＋＝50可得n＋＝50 ＝25，又n∈N＋，所以n＝6.
8.不等式＜6的解集是　　　.
答案：
解析：不等式＜6中，2≤x≤8，x∈N＋，化为＜6·，整理得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12，因此x＝8，所以不等式＜6.
9.－的值为　　　.
答案：18或22
解析：由已知可得结合m∈N＋，解得m＝2或3，当m＝2时，－＝－＝22，当m＝3时，－＝－＝18.
10.(13分)计算：
(1)；(2).
解：(1)＝＝6.
(2)＝·(n－m)！·＝·！·＝1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.计算0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数，其个位数字是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：根据题意，5！＝5×4×3×2×1＝120，6！＝6×5×4×3×2×1＝720，由于5！，6！，…，100！中都有2×5，则从5开始阶乘的个位全部是0，只用看0！＋1！＋2！＋3！＋4！的个位即可.又由0！＋1！＋2！＋3！＋4！＝34，即0！＋1！＋2！＋3！＋4！＋…＋100！得到的数的个位数字是4.故选C.
12.不等式3≤2＋6的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：易知x≥3，x∈N＋.因为＝x(x－1)(x－2)，＝x，＝x，所以原不等式可化为3x≤2x＋6x(x－1)，所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}.故选A.
13.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m(m＞1)个车站，客运车票增加了58种，则m＋n＝　　　　.
答案：16
解析：由题意可得－＝(n＋m)(n＋m－1)－n＝m＝58，因为m，n均为正整数且m＞1，所以2n＋m－1也为正整数，且2n＋m－1＞m＞1，又58＝2×29且2与29均为质数，所以所以m＋n＝16.
14.(15分)(1)证明：(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2)化简：2·2！＋3·3！＋4·4！＋…＋985·985！.
解：(1)证明：左边＝(n＋1)！－n！＝·n！＝n·n！＝右边，
所以得证.
(2)原式＝3！－2！＋4！－3！＋…＋986！－985！＝986！－2.
15.(5分)(新情境)英国数学家泰勒(B.Taylor，1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余
项是Rn＝.可以看出，右边的项越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若用近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
答案：B
解析：依题意得，(n＋1)！≥3 000，因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，所以n的最小值是6.故选B.
16.(17分)求证：＋m＋m(m－1)＝(n，m∈N＋，n≥m＞2).
证明：因为左边＝＋m＋m×(m－1)×
＝
＝
＝＝＝＝右边，
所以等式成立.
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