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(共66张PPT)
§3　独立性检验问题
　
第七章　统计案例
学习目标
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义，培养数学抽象的 核心素养.
2.理解判断两个变量是否有关联的方法.
3.了解随机变量χ2的意义.
4.通过实例，了解独立性检验及其应用，提升数据分析、数 学运算的核心素养.
任务一　独立性检验的概念
问题导思
问题1.为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6 578人，得到如表所示的数据(单位：人)：
吸烟情况 患肺癌情况
患肺癌 未患肺癌
吸烟 56 1 932
不吸烟 23 4 567
我们应研究此表中的哪些量呢？
提示：需要考虑两个变量：是否吸烟，是否患肺癌；每个变量应取两个值：吸烟、不吸烟，患肺癌、未患肺癌.
新知构建
1.2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量A和B，它们的取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
A B
B1 B2 总计
A1 a b ______
A2 c d ______
总计 ______ ______ a＋b＋c＋d
a＋b
c＋d
a＋c
b＋d
2.独立性检验
根据2×2列联表中的数据来判断两变量是否有关系或是否独立的问题，称为2×2列联表的独立性检验.
在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表.
解：根据题目所给的数据作出如下的列联表.
典例
1
性别 患色盲情况
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1 000
规律方法
制作2×2列联表的基本步骤
第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步，抽取样本，整理数据；
第三步，作出2×2列联表.
注意：(1)作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误.(2)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.
对点练1.(双空题)为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
爱运动 不爱运动 合计
男生 m 12 30
女生 8 20
合计 n 50
则m＝　　，n＝　　.
18
24
由题意可得列联表如下：
故m＝18，n＝24.
爱运动 不爱运动 合计
男生 18 12 30
女生 8 12 20
合计 26 24 50
返回
任务二　独立性检验的基本思想
问题导思
问题2.回归分析和独立性检验都是研究两变量之间关系的，是相同的问题，对吗？
提示：不对.回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，通过回归分析预测和估计两个变量之间具有的相关关系；独立性检验是分析这两个变量在多大程度上具有关系，但不能100％肯定这种关系.
问题3.对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义是什么？
提示：“两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”.
新知构建
a＋b＋c＋d
没有充分
90％
95％
99％
微思考
某学校想了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，由得到的2×2列联表算得：χ2≈7.82.下列结论正确的是
附：
A.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
典例
2
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
√
因为χ2≈7.82＞6.635，χ2≈7.82＜10.828，所以有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选D.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
规律方法
χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中判断变量相关联的规则是：当χ2大于某设定临界值，就有相应多大的把握判断两变量有关联；当χ2小于某设定临界值，就没有充分的证据判断两变量有关联，即可以认为两变量是没有关联的.
对点练2.有两个变量X与Y，X的取值为X1，X2，Y的取值为Y1，Y2，得到
下表：
其中a，15－a均为大于5的整数，则当a＝　　　　时，有90％的把握认为X与Y之间有关系.
Y
X Y1 Y2
X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
8或9

Y
X Y1 Y2
X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
返回
任务三　独立性检验的综合应用
b 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
典例
3
物理方向 历史方向 总计
男生 13 a 23
女生 7 20 27
总计 b c 50
(1)计算a，b，c的值；
解：由13＋a＝23，得a＝10，
由a＋20＝c，得c＝10＋20＝30，
由b＋c＝50，得b＝50－30＝20.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
变式探究
(变条件)本例2×2列联表中的数据均变为原来的2倍，是否有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
解：2×2列联表如下：
物理方向 历史方向 总计
男生 26 20 46
女生 14 40 54
总计 40 60 100
规律方法
1.独立性检验问题常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照如下独立性检验的步骤得出结论.
对点练3.某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有2种套餐选择，二食堂有4种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格：
男 女
在一食堂就餐 40 20
在二食堂就餐 15 25
P(χ2≥k0) 0.025 0.01 0.005 0.001
k0 5.024 6.635 7.879 10.828
课堂小结
任务再现 1.2×2列联表.2.统计量和独立性检验的基本思想.3.独立性检验的综合应用
方法提炼 公式法
易错警示 计算出错；计算后不能得出合理的结论
返回
随堂评价
√
1.如果有95％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据
A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841
C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635
χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度.当χ2＞6.635时，有99％的把握判断A与B有关联；当χ2＞3.841时，有95％的把握判断A与B有关联；当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断A与B有关联.故选A.
√
2.若变量X和Y的列联表如下：
则下列说法正确的是
A.ad－bc越小，说明X与Y的相关联程度越弱
B.ad－bc越大，说明X与Y的相关联程度越强
C.(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关联程度越强
D.(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的相关联程度越强
X Y
Y1 Y2 总计
X1 a b a＋b
X2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

X Y
Y1 Y2 总计
X1 a b a＋b
X2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
3.下面是两个分类变量的列联表：
则表中a，b处的值分别为　　　　　.
X Y
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
总计 b 46 100
52，54
根据列联表的特点可以发现：73＝21＋a，b＝a＋2，解之得a＝52，b＝54.
患该疾病 不患该疾病 总计
男 15 10 25
女 5 20 25
总计 20 30 50
P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
没有

返回
患该疾病 不患该疾病 总计
男 15 10 25
女 5 20 25
总计 20 30 50
课时分层评价
√
1.如果有不少于99％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的
数据
A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841
C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635
比较χ2的值和临界值的大小，95％的把握则χ2＞3.841，χ2＞6.635就有
99％的把握.故选C.
√
2.某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2 600名有车人中有1 700名持反对意见，2 500名无车人中有1 400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力
A.均值 B.独立性检验
C.随机误差 D.频率分布直方图
独立性检验是检验两个不同分类的变量是否相关的方法，刚好符合题意，而均值、随机误差、频率分布直方图都不是分析两个不同分类的变量是否相关的方法，故采用独立性检验方法最有说服力.故选B.
√
3.某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25人，则对列联表数据的分析错误
的是
A.a＝18 B.b＝19
C.c＋d＝50 D.e－f＝2
每年体检(人) 每年未体检(人) 合计(人)
老年人 a 7 c
年轻人 6 b d
合计 e f 50
因为抽取的村民中，老年人有25人，年轻人有25人，所以c＝25，d＝25，所以a＝25－7＝18，b＝25－6＝19，c＋d＝50，故A，B，C正确；所以e＝a＋6＝18＋6＝24，f＝7＋b＝7＋19＝26，则e－f＝24－26＝
－2，故D错误.故选D.
每年体检(人) 每年未体检(人) 合计(人)
老年人 a 7 c
年轻人 6 b d
合计 e f 50
√
由已知数据χ2＝56.632＞6.635，得有99％的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，则选项D正确，其余都是错误的.故选D.
√
Y
X y1 y2 总计
x1 10 18 28
x2 m 26 m＋26
总计 m＋10 44 m＋54

Y
X y1 y2 总计
x1 10 18 28
x2 m 26 m＋26
总计 m＋10 44 m＋54
√
√
若a＞6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y不独立，若a＜6.635，则没有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y独立.故选AD.
7.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是　　　 　 .
　　　　　.
男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副
教授人数
男性 女性 合计
满意 560 540 1 100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1 200
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
4.364
有95％的把握认为满意度与性别有关联

男性 女性 合计
满意 560 540 1 100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1 200
是否高于40岁 是否喜欢利物浦队
不喜欢利物浦队 喜欢利物浦队 总计
高于40岁 p q 50
不高于40岁 15 35 50
总计 a b 100
95％

是否高于40岁 是否喜欢利物浦队
不喜欢利物浦队 喜欢利物浦队 总计
高于40岁 p q 50
不高于40岁 15 35 50
总计 a b 100
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
K0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
√
支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
√
√
免疫 不免疫 合计
注射疫苗 10 10 20
未注射疫苗 6 34 40
合计 16 44 60
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828

免疫 不免疫 合计
注射疫苗 10 10 20
未注射疫苗 6 34 40
合计 16 44 60
12
设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下：
A型病 B型病 总计
男 x
女 2x
总计 3x

A型病 B型病 总计
男 x
女 2x
总计 3x
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
解：根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为100×(0.03×5＋0.04× 5)＝35，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
√
√
√


患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
16.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N＋)，则k＝　　　　.
5或6
设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k(k∈N＋)，并把2×2列联表的数据补充完整：
是否喜欢网络课程
性别 喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
合计 1.4n 0.6n 2n
返回§3　独立性检验问题
学习目标 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义，培养数学抽象的核心素养.　2.理解判断两个变量是否有关联的方法.　3.了解随机变量χ2的意义.　4.通过实例，了解独立性检验及其应用，提升数据分析、数学运算的核心素养.
任务一　独立性检验的概念
问题1.为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6 578人，得到如表所示的数据(单位：人)：
吸烟情况 患肺癌情况
患肺癌 未患肺癌
吸烟 56 1 932
不吸烟 23 4 567
我们应研究此表中的哪些量呢？
提示：需要考虑两个变量：是否吸烟，是否患肺癌；每个变量应取两个值：吸烟、不吸烟，患肺癌、未患肺癌.
1.2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量A和B，它们的取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
A B
B1 B2 总计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
2.独立性检验
根据2×2列联表中的数据来判断两变量是否有关系或是否独立的问题，称为2×2列联表的独立性检验.
在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表.
解：根据题目所给的数据作出如下的列联表.
性别 患色盲情况
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1 000
制作2×2列联表的基本步骤
第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步，抽取样本，整理数据；
第三步，作出2×2列联表.
注意：(1)作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误.(2)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.
对点练1.(双空题)为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
爱运动 不爱运动 合计
男生 m 12 30
女生 8 20
合计 n 50
则m＝　　　　，n＝　　　　.
答案：18　24
解析：由题意可得列联表如下：
爱运动 不爱运动 合计
男生 18 12 30
女生 8 12 20
合计 26 24 50
故m＝18，n＝24.
任务二　独立性检验的基本思想
问题2.回归分析和独立性检验都是研究两变量之间关系的，是相同的问题，对吗？
提示：不对.回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，通过回归分析预测和估计两个变量之间具有的相关关系；独立性检验是分析这两个变量在多大程度上具有关系，但不能100％肯定这种关系.
问题3.对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义是什么？
提示：“两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”.
1.χ2的计算公式
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
2.利用χ2临界值对变量的独立性进行判断
当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断.
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联；
(3)当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联；
(4)当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联.
[微思考]　设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，用估计P(A1)，用估计P(B1)，在什么情况下，A1与B1独立？
提示：当＝·时，A1与B1独立.
某学校想了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，由得到的2×2列联表算得：χ2≈7.82.下列结论正确的是(　　)
附：
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
答案：D
解析：因为χ2≈7.82＞6.635，χ2≈7.82＜10.828，所以有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选D.
χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中判断变量相关联的规则是：当χ2大于某设定临界值，就有相应多大的把握判断两变量有关联；当χ2小于某设定临界值，就没有充分的证据判断两变量有关联，即可以认为两变量是没有关联的.
对点练2.有两个变量X与Y，X的取值为X1，X2，Y的取值为Y1，Y2，得到下表：
Y X Y1 Y2
X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则当a＝　　　　时，有90％的把握认为X与Y之间有关系.
答案：8或9
解析：要有90％的把握认为X与Y之间有关系，则χ2＞2.706，即χ2＝＝＞2.706.因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝6，7，8，9，代入不等式验证可知8，9均满足要求.所以当a＝8或9时，有90％的把握认为X与Y之间有关系.
任务三　独立性检验的综合应用
随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
物理方向 历史方向 总计
男生 13 a 23
女生 7 20 27
总计 b c 50
(1)计算a，b，c的值；
(2)问是否有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由13＋a＝23，得a＝10，
由a＋20＝c，得c＝10＋20＝30，
由b＋c＝50，得b＝50－30＝20.
(2)χ2＝≈4.844，
因为4.844＜6.635.
故没有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关.
[变式探究]
(变条件)本例2×2列联表中的数据均变为原来的2倍，是否有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
解：2×2列联表如下：
物理方向 历史方向 总计
男生 26 20 46
女生 14 40 54
总计 40 60 100
所以χ2＝≈9.689，
因为9.689＞6.635，
故有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关.
1.独立性检验问题常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照如下独立性检验的步骤得出结论.
对点练3.某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有2种套餐选择，二食堂有4种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格：
男 女
在一食堂就餐 40 20
在二食堂就餐 15 25
(1)若学生选择每种套餐的可能性相同，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐的概率；
(2)能否有99.5％的把握认为性别与选择食堂之间有关系？
附：χ2＝.
P(χ2≥k0) 0.025 0.01 0.005 0.001
k0 5.024 6.635 7.879 10.828
解：(1)一共有6种套餐，甲和乙各选择一种，共有62＝36种方法，甲和乙两名同学选择同一种套餐有6种方法，所以甲、乙两名同学选择同一套餐的概率P＝＝.
(2)χ2＝≈8.249，因为8.249＞7.879，
所以有99.5％的把握认为性别与选择食堂之间有关系.
任务再现 1.2×2列联表.2.统计量和独立性检验的基本思想.3.独立性检验的综合应用
方法提炼 公式法
易错警示 计算出错；计算后不能得出合理的结论
1.如果有95％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　)
A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841
C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635
答案：A
解析：χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度.当χ2＞6.635时，有99％的把握判断A与B有关联；当χ2＞3.841时，有95％的把握判断A与B有关联；当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断A与B有关联.故选A.
2.若变量X和Y的列联表如下：
X Y
Y1 Y2 总计
X1 a b a＋b
X2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是(　　)
A.ad－bc越小，说明X与Y的相关联程度越弱
B.ad－bc越大，说明X与Y的相关联程度越强
C.(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关联程度越强
D.(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的相关联程度越强
答案：C
解析： χ2＝，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y的相关联程度越强.故选C.
3.下面是两个分类变量的列联表：
X Y
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
总计 b 46 100
则表中a，b处的值分别为　　　　　.
答案：52，54
解析：根据列联表的特点可以发现：73＝21＋a，b＝a＋2，解之得a＝52，b＝54.
4.为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的2×2列联表：
患该疾病 不患该疾病 总计
男 15 10 25
女 5 20 25
总计 20 30 50
则　　　　(填“有”或“没有”)99.9％的把握认为患该疾病与性别有关.
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：
P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
答案：没有
解析：由题意知，χ2＝≈8.333＜10.828，所以没有99.9％的把握认为患该疾病与性别有关.
课时分层评价49　独立性检验问题
(时间：60分钟　满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.如果有不少于99％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　)
A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841
C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635
答案：C
解析：比较χ2的值和临界值的大小，95％的把握则χ2＞3.841，χ2＞6.635就有99％的把握.故选C.
2.某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2 600名有车人中有1 700名持反对意见，2 500名无车人中有1 400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力(　　)
A.均值 B.独立性检验
C.随机误差 D.频率分布直方图
答案：B
解析：独立性检验是检验两个不同分类的变量是否相关的方法，刚好符合题意，而均值、随机误差、频率分布直方图都不是分析两个不同分类的变量是否相关的方法，故采用独立性检验方法最有说服力.故选B.
3.某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
每年体检(人) 每年未体检(人) 合计(人)
老年人 a 7 c
年轻人 6 b d
合计 e f 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25人，则对列联表数据的分析错误的是(　　)
A.a＝18 B.b＝19
C.c＋d＝50 D.e－f＝2
答案：D
解析： 因为抽取的村民中，老年人有25人，年轻人有25人，所以c＝25，d＝25，所以a＝25－7＝18，b＝25－6＝19，c＋d＝50，故A，B，C正确；所以e＝a＋6＝18＋6＝24，f＝7＋b＝7＋19＝26，则e－f＝24－26＝－2，故D错误.故选D.
4.某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝9 965)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得χ2＝56.632，经查对临界值表知P≈0.01，现给出四个结论，其中正确的是(　　)
A.有99％的把握认为“患肺癌与吸烟无关”
B.在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C.若老张吸烟，那么他有99％的可能性患肺癌
D.有99％的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
答案：D
解析：由已知数据χ2＝56.632＞6.635，得有99％的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，则选项D正确，其余都是错误的.故选D.
5.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为和，其2×2列联表为
Y X y1 y2 总计
x1 10 18 28
x2 m 26 m＋26
总计 m＋10 44 m＋54
则下列选项中使X与Y的关系最弱的m的取值为(　　)
A.8 B.9
C.14 D.19
答案：C
解析：在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.故选C.
6.(多选题)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝a.已知P＝0.01，依据α＝0.01的独立性检验，下列结论正确的是(　　)
A.若a＜6.635，则变量x与y独立
B.若a＞6.635，则变量x与y独立
C.若a＜6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联
D.若a＞6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联
答案：AD
解析：若a＞6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y不独立，若a＜6.635，则没有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y独立.故选AD.
7.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是　　　　　　　　　　　　　　.
答案：男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数
8.(双空题)一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1 200位游客进行了满意度调查，结果如下表：
男性 女性 合计
满意 560 540 1 100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1 200
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝　　　　(精确到0.001)；依据数据可作出的判断是　　　　　　　　　　.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
答案：4.364　有95％的把握认为满意度与性别有关联
解析：χ2＝≈4.364＞3.841，所以有95％的把握认为满意度与性别有关联.
9.2024年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
是否高于40岁 是否喜欢利物浦队
不喜欢利物浦队 喜欢利物浦队 总计
高于40岁 p q 50
不高于40岁 15 35 50
总计 a b 100
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为，则有　　　　的把握判断年龄与是否喜欢利物浦队有关.附：χ2＝.
答案：95％
解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，由已知得P(A)＝＝，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝≈4.167＞3.841，故有95％的把握判断年龄与是否喜欢利物浦队有关.
10.(15分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)是否有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
附：
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)甲机床生产的产品中一级品的频率为＝0.75；
乙机床生产的产品中一级品的频率为＝0.6.
(2)由题可知a＝150，b＝50，c＝120，d＝80，n＝400，
所以χ2＝
＝＝≈10.256，
根据参考值可知10.256＞6.635，
所以有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N＋)：
支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
若通过计算得，有95％以上的把握认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.48 B.56
C.66 D.76
答案：C
解析：因为有95％以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以≥3.841，即≥28.807 5，因为函数y＝在10≤m≤20时单调递增，且m∈N＋，＜28.807 5，≥28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66，故选C.
12.(多选题)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表：
免疫 不免疫 合计
注射疫苗 10 10 20
未注射疫苗 6 34 40
合计 16 44 60
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
则下列说法中正确的是(　　)
A.χ2≈8.35
B.P≈0.001
C.我们有99％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
D.我们有99.9％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
答案：AC
解析：由表中数据，得χ2＝≈8.35，故A正确；因为P≈0.01，故B错误；10.828＞8.35＞6.635，所以有99％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系，故C正确，D错误.故选AC.
13.某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“有99.5％的把握认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，则被调查的男性患者至少有　　　　人.
附：P(χ2≥7.879)≈0.005.
答案：12
解析：设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下：
A型病 B型病 总计
男 x
女 2x
总计 3x
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝，有99.5％的把握认为“所患疾病的类型”与“性别”有关，则＞7.879，解得x＞11.818 5，因为∈Z，所以x的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.
14.(15分)某机构为了解2024年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额(单位：千元)进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值；
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由.
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
下面的临界值表仅供参考：
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解：(1)根据频率分布直方图得：5×(0.01＋0.02＋0.03＋2a＋0.06)＝1，解得a＝0.04.
(2)根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为100×(0.03×5＋0.04×5)＝35，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
算得χ2＝≈8.375＞6.635.
所以有99％的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.(多选题)某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如表所示的2×2列联表，其中b＝12a，则(　　)
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：
χ2＝.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
B.任意一人不过量饮酒的概率为
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D.有99.9％以上的把握认为过量饮酒与患疾病A有关
答案：ACD
解析：由已知得4a＋3b＝400，又b＝12a，所以a＝10，b＝120.任意一人不患疾病A的概率为＝0.9，故A正确；任意一人不过量饮酒的概率为＝，故B错误；任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为＝，故C正确；
对于D，2×2列联表如下：
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
则χ2＝＝≈26.67，由于26.67＞10.828，故有99.9％以上的把握认为过量饮酒与患疾病A有关，故D正确.故选ACD.
16.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N＋)，则k＝　　　　.
答案：5或6
解析：设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k(k∈N＋)，并把2×2列联表的数据补充完整：
是否喜欢网络课程 性别 喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
合计 1.4n 0.6n 2n
所以χ2＝＝.又因为有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所以3.841≤＜6.635，即80.661≤2n＜139.335.又2n＝20k，所以4.033 05≤k＜6.966 75，k＝5或k＝6.
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