资源简介

(共83张PPT)
§2　成对数据的线性相关性
　
第七章　统计案例
学习目标
1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，通过对相关系 数、正相关、负相关等概念的学习，培养数学抽象的核心 素养.
2.会计算样本相关系数，了解样本相关系数与标准化数据向 量夹角的关系，借助相关系数r的应用，提升数学建模与数 据分析的核心素养.
任务一　相关系数
问题导思
问题1.给定两个随机变量(X，Y)的n组成对数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法，一定可以得到Y关于X的线性回归方程吗？都有实际意义吗？
提示：一定，未必，随机变量Y与X不一定具有线性关系.
问题2.观察如下散点图：

能判断出图①与图②对应的成对数据有线性关系吗？哪组变量线性关系
更强？
提示：可以判断出图①与图②对应的成对数据线性相关，但图①与图②对应的成对数据的线性关系哪个更强，从散点图难以区别.
新知构建
2.相关性的分类
(1)当______时，两个随机变量正相关；
(2)当______时，两个随机变量负相关；
(3)当______时，两个随机变量线性不相关.
r＞0
r＜0
r＝0
微提醒
(链教材P244例1)某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断探索、改革销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量X(件)与相应的生产总成本Y(万元)的五组对照数据：
典例
1
产量x(件) 1 2 3 4 5
生产总成本y(万元) 3 7 8 10 12
规律方法
对点练1.近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2020－2024年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例Y(百分比)与年份编号X之间的关系：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
x 1 2 3 4 5
y 21 26 40 49 54
0.976

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任务二　线性相关性强弱的判断
问题导思
问题3.变量U和变量V的样本相关系数为r1＝0.984，变量X和变量Y的样本相关系数为r2＝－0.834，结合如下相应散点图，思考两组变量间的线性相关性强弱如何？
提示：两组变量都具有较强的线性相关性，其中变量U和变量V的线性相关性更强一些.
新知构建
样本(线性)相关系数r与线性相关程度的关系
(1)r的取值范围为___________；
(2)｜r｜值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越____；
(3)｜r｜值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越____.
[－1，1]
强
弱
微提醒
判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数r来判断.｜r｜越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强.
(1)对于X与Y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r(如下)：－0.87，0.72，－0.78，0.85，则线性相关性最强的是
A.－0.87 B.0.72
C.－0.78 D.0.85
典例
2
√
线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是－0.87.故选A.
√
√
√
对于A，从散点图可以看出变量Y随X的增大而减小，去掉B点也是负相关；故A正确；对于B、C，去掉B点后，相关系数r变的更小更趋于－1，故B错误，C正确；对于D，去掉B点后，变量X与变量Y的线性相关性增强，故D正确.故选ACD.
规律方法
判断线性相关强弱的基本方法
1.散点图：散点图只是粗略作出判断，所有的点越接近直线，相关性越强.
2.样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越接近于1，相关性越强.
√
对点练2.(1)对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为r1，r2，r3，r4，则r1，r2，r3，r4的大小关系为
A.r2＜r4＜r3＜r1
B.r2＜r4＜r1＜r3
C.r4＜r2＜r3＜r1
D.r4＜r2＜r1＜r3
由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关，且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以r2＜r4＜r3＜r1.故选A.
1
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任务三　成对数据的线性相关性的实际应用
典例
3
规律方法
课堂小结
任务再现 1.样本相关系数的计算.2.线性相关关系程度的判断.3.成对数据的线性相关性的实际应用
方法提炼 公式法、数形结合思想
易错警示 样本相关系数的大小与变量间线性相关程度的对应关系混淆
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随堂评价
√
1.变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为
A.1
B.－0.5
C.0
D.0.5
根据变量X，Y的散点图，得X，Y之间的线性相关关系非常不明显，所以样本相关系数r最接近的值应为0.故选C.
√
2.已知变量x与y的回归直线方程为y＝3x－1，变量y与z负相关，则
A.x与y负相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z正相关
D.x与y正相关，x与z负相关
根据回归方程y＝3x－1可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关.故选D.
3.变量X与Y相对应的成对数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的成对数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2，0的大小关系为　　 　　.
r2＜0＜r1
对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0，故r2＜0＜r1.
X 5 10 15 20 25
Y 103 105 110 111 114
0.983

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课时分层评价
√
1.有变量x与变量m，n，o，p对应的4组样本数据，计算出它们的线性相关系数分别为r1＝－0.92，r2＝－0.71，r3＝0.84，r4＝0.51，则与x线性相关关系最弱的是
A.m B.n
C.o D.p
√
2.(2025·山西大同高二期中)对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数r1＝0.958，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数r2＝－0.974，则下列判断正确的是
A.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强
B.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强
C.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强
D.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强
√

√
√
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5

√
√
√
1.818 2

8.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”的调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的回归直线方程为Y＝kX－0.418 8.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为　　　　.
0.35
x 30 35 40 45 50
y 18 14 10 8 5
－0.992

i 1 2 3 4 5
－10 －5 0 5 10
7 3 －1 －3 －6
－70 －15 0 －15 －60

10.(15分)2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x(日) 1 2 3 4 5
y(万人) 45 50 60 65 80
(1)计算x，y的相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
√
11.已知两个变量X和Y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量X的观测数据的平均数都为s，对变量Y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是
A.l1与l2一定有公共点(s，t)
B.l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)
C.l1与l2必定平行
D.l1与l2必定重合
√
√

－0.3
e7.4

14.(15分)随着全球新能源汽车市场的快速发展，在政策的有力推动下，中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率、较低的用车成本、安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低、续航里程限制、低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
√


返回§2　成对数据的线性相关性
学习目标 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，通过对相关系数、正相关、负相关等概念的学习，培养数学抽象的核心素养.　2.会计算样本相关系数，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，借助相关系数r的应用，提升数学建模与数据分析的核心素养.
任务一　相关系数
问题1.给定两个随机变量(X，Y)的n组成对数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法，一定可以得到Y关于X的线性回归方程吗？都有实际意义吗？
提示：一定，未必，随机变量Y与X不一定具有线性关系.
问题2.观察如下散点图：
能判断出图①与图②对应的成对数据有线性关系吗？哪组变量线性关系更强？
提示：可以判断出图①与图②对应的成对数据线性相关，但图①与图②对应的成对数据的线性关系哪个更强，从散点图难以区别.
1.样本(线性)相关系数
一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数.
2.相关性的分类
(1)当r＞0时，两个随机变量正相关；
(2)当r＜0时，两个随机变量负相关；
(3)当r＝0时，两个随机变量线性不相关.
[微提醒]　为运算方便，还可利用下面的公式：r＝.
(链教材P244例1)某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断探索、改革销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量X(件)与相应的生产总成本Y(万元)的五组对照数据：
产量x(件) 1 2 3 4 5
生产总成本y(万元) 3 7 8 10 12
试求Y与X的相关系数，并利用相关系数说明Y与X是正相关还是负相关？(结果保留两位小数)
参考公式：r＝.参考数据：≈10.7.
解：＝＝3，＝＝8，＝
＝，
＝
＝，
＝×＋×＋×＋×＋×＝21，
故相关系数r＝≈0.98，
因为r≈0.98＞0，
所以Y与X是正相关.
样本相关系数的计算步骤
第一步：求出，的值；
第二步：求出(xi－)(yi－)，(xi－)2，的值；
第三步：代入公式计算得结果.
注意：(1)散点图可以直观地判断两变量是否具有线性关系.(2)样本相关系数的计算运算量较大，注意运算的准确性.
对点练1.近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2020－2024年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例Y(百分比)与年份编号X之间的关系：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
x 1 2 3 4 5
y 21 26 40 49 54
则Y与X的样本相关系数r＝　　　　(保留3位小数).
附：≈3.2，≈28.5，
r＝.
答案：0.976
解析：由题意可知：＝＝3，＝＝38，可得(xi－)(yi－)＝89，(xi－)2＝10，(yi－)2＝814，所以r＝＝≈≈0.976.
任务二　线性相关性强弱的判断
问题3.变量U和变量V的样本相关系数为r1＝0.984，变量X和变量Y的样本相关系数为r2＝－0.834，结合如下相应散点图，思考两组变量间的线性相关性强弱如何？
提示：两组变量都具有较强的线性相关性，其中变量U和变量V的线性相关性更强一些.
样本(线性)相关系数r与线性相关程度的关系
(1)r的取值范围为[－1，1]；
(2)｜r｜值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；
(3)｜r｜值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.
[微提醒]　判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数r来判断.｜r｜越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强.
(1)对于X与Y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r(如下)：－0.87，0.72，－0.78，0.85，则线性相关性最强的是(　　)
A.－0.87 B.0.72
C.－0.78 D.0.85
(2)(多选题)某同学根据变量X与Y的六组数据(i＝1，2，…，6)绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是(　　)
A.变量X与Y负相关没变
B.相关系数r越趋于1
C.相关系数r变小了
D.Y与X线性相关程度变强
答案：(1)A　(2)ACD
解析：(1)线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是－0.87.故选A.
(2)对于A，从散点图可以看出变量Y随X的增大而减小，去掉B点也是负相关；故A正确；对于B、C，去掉B点后，相关系数r变的更小更趋于－1，故B错误，C正确；对于D，去掉B点后，变量X与变量Y的线性相关性增强，故D正确.故选ACD.
判断线性相关强弱的基本方法
1.散点图：散点图只是粗略作出判断，所有的点越接近直线，相关性越强.
2.样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越接近于1，相关性越强.
对点练2.(1)对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为r1，r2，r3，r4，则r1，r2，r3，r4的大小关系为(　　)
A.r2＜r4＜r3＜r1 B.r2＜r4＜r1＜r3
C.r4＜r2＜r3＜r1 D.r4＜r2＜r1＜r3
(2)在研究线性回归模型时，样本数据(i＝1，2，3，…，n)所对应的点均在直线y＝x＋3上，用r表示两个变量X与Y的线性相关程度，则r＝　　　　.
答案：(1)A　(2)1
解析：(1)由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关，且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以r2＜r4＜r3＜r1.故选A.
(2)由已知样本数据(i＝1，2，3，…，n)所对应的点均在直线y＝x＋3上，则＝1，又＞0，所以满足正相关，即r＝1.
任务三　成对数据的线性相关性的实际应用
随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车市场迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A，B两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A，B两种不同型号的新能源汽车进行综合评估(得分越高接受程度就越高)，综合得分按照，，，[80，100]分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图(如图)：
(1)以综合得分的平均数为依据，判断A，B两种不同型号的新能源汽车哪种型号更受大众喜欢；
(2)为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量y(单位：万台)关于年份x的线性回归方程为Y＝4.7X－9 495.2，且销量y的方差为＝50，年份x的方差为＝2，求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱.
参考公式：①线性回归方程：Y＝X＋，其中＝，＝－；
②相关系数r＝(若｜r｜∈，则相关性较弱；若｜r｜∈，则相关性较强；若｜r｜∈，则相关性很强).
解：(1)设A，B两种不同型号的新能源汽车的综合得分的平均数为，，
由题可知，＝30×0.1＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.2＝64，
＝30×0.3＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.1＝56，
由于＞，所以A型号的新能源汽车更受大众喜欢.
(2)相关系数r＝＝·＝·，
所以r＝4.7×＝4.7×＝0.94＞0.75，
故该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性很强.
1.当相关系数｜r｜越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数｜r｜越接近0时，两个变量的相关关系越弱；当r＝0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
2.若数据x1，x2，…，xn及y1，y2，…，yn的方差分别为，，则样本线性相关系数公式可变形为r＝·.
对点练3.某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为＝10，化学成绩的方差为＝8，＝500 500，其中xi，yi(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为Y＝0.4X＋t.
(1)求y与x的样本相关系数r；
(2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩η服从正态分布N，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差作为σ2的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.
附：①线性回归方程Y＝＋X中：＝，＝－；
②样本相关系数r＝；
③若η～N，则P≈0.68，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.95；
④≈3.16.
解：(1)因为＝＝10，＝(yi－)2＝8，
所以＝500，＝400，
又＝＝
＝0.4，所以＝200，
所以r＝＝＝.
(2)因为＝－50＝500，＝500 500，
所以500 500－50＝500，解得＝100，即μ＝100，
因为σ2＝10，所以σ≈3.16，
所以数学成绩η服从正态分布N，
因为P＝P
＝P＋P
＝P＋P
≈×0.68＋×0.95＝0.815，
所以该校高三学生数学成绩位于区间(96.84，106.32)的大约有800×0.815＝652人.
任务再现 1.样本相关系数的计算.2.线性相关关系程度的判断.3.成对数据的线性相关性的实际应用
方法提炼 公式法、数形结合思想
易错警示 样本相关系数的大小与变量间线性相关程度的对应关系混淆
1.变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　)
A.1 B.－0.5
C.0 D.0.5
答案：C
解析：根据变量X，Y的散点图，得X，Y之间的线性相关关系非常不明显，所以样本相关系数r最接近的值应为0.故选C.
2.已知变量x与y的回归直线方程为y＝3x－1，变量y与z负相关，则(　　)
A.x与y负相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z正相关
D.x与y正相关，x与z负相关
答案：D
解析：根据回归方程y＝3x－1可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关.故选D.
3.变量X与Y相对应的成对数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的成对数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2，0的大小关系为　　　　.
答案：r2＜0＜r1
解析：对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0，故r2＜0＜r1.
4.两个变量满足如下表关系：
X 5 10 15 20 25
Y 103 105 110 111 114
则两个变量线性相关系数为　　　　.(保留3位小数)附：≈3.16，≈9.01
答案：0.983
解析：xi＝75，yi＝543，＝1 375，xiyi＝8 285，＝59 051，＝15，＝108.6.r＝
＝≈0.983.
课时分层评价48　成对数据的线性相关性
(时间：60分钟　满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.有变量x与变量m，n，o，p对应的4组样本数据，计算出它们的线性相关系数分别为r1＝－0.92，r2＝－0.71，r3＝0.84，r4＝0.51，则与x线性相关关系最弱的是(　　)
A.m B.n
C.o D.p
答案：D
解析：相关系数的绝对值越小，变量间的线性相关性越弱，因为＜＜＜，所以与x线性相关关系最弱的是p.故选D.
2.(2025·山西大同高二期中)对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数r1＝0.958，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数r2＝－0.974，则下列判断正确的是(　　)
A.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强
B.变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强
C.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强
D.变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强
答案：B
解析：由线性相关系数r1＝0.958＞0知x与y正相关，由线性相关系数r2＝－0.974＜0知u与v负相关，又＜，所以变量u与变量v的线性相关性比变量x与变量y的线性相关性更强.故选B.
3.(2025·广东珠海高二月考)一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：xi＝28，＝303.4，yi＝75，＝598.5，xiyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为(　　)
(相关系数：r＝)
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
答案：A
解析：因为xi＝28，yi＝75，所以＝2.8，＝7.5，｜r｜＝＝＝0.3.故选A.
4.已知变量x与变量y线性相关，x与y的样本相关系数为－0.8，且由观测数据算得样本平均数＝5，＝6，则由该观测数据算得经验回归方程可能是(　　)
A.Y＝0.8X＋2 B.Y＝X＋1
C.Y＝－0.8X＋9 D.Y＝－X＋11
答案：D
解析：因为x与y的样本相关系数为－0.8＜0，可知x与y为负相关，故A、B错误；又因为经验回归方程过样本中心点，对于Y＝－0.8X＋9，则－0.8×5＋9＝5≠6，故C错误；对于Y＝－X＋11，则－5＋11＝6，故D正确.故选D.
5.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见表)：若已求得一元线性回归方程Y＝X＋0.34，则下列选项中正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A.＝0.2
B.去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变
C.当x＝8时，y的预测值为2.2
D.x与y的样本是负相关
答案：B
解析：＝＝3，＝＝1，所以样本点的中心坐标为，将它代入Y＝X＋0.34，得3＋0.34＝1，解得＝0.22，故A错误；由相关系数公式可知，去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确；当x＝8时，y的预测值为y＝0.22×8＋0.34＝2.1，故C错误；因为＞0，所以x与y的样本是正相关，故D错误.故选B.
6.(多选题)(2025·四川成都高二期中)对于样本相关系数，下列说法正确的是(　　)
A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强
D.样本相关系数r∈
答案：ABD
解析：对于A，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，故A正确；对于B，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，故B正确；对于C，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，故C错误；对于D，样本相关系数r∈，故D正确.故选ABD.
7.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量y(单位：千箱)与单位成本x(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，xiyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降　　　　元(结果保留5位有效数字).
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：＝，＝－.
答案：1.818 2
解析：由题意知＝＝＝－，＝－＝71＋×＝，所以线性回归方程为Y＝－X＋，所以销量每增加1 000箱，单位成本下降≈1.818 2元.
8.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”的调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的回归直线方程为Y＝kX－0.418 8.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为　　　　.
答案：0.35
解析：由题意可得各年龄段的值为42，47，52，57，则＝＝49.5，爱看人数比的平均值＝＝0.195，代入Y＝kX－0.418 8，得0.195＝49.5k－0.418 8，即k＝0.012 4，所以Y＝0.012 4X－0.418 8，取X＝62，得Y＝0.012 4×62－0.418 8＝0.35.所以年龄在[60，64]的爱看人数比为0.35.
9.经调查，某种手机流量包的定价x(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如下表：
x 30 35 40 45 50
y 18 14 10 8 5
计算该流量包的定价x与购买人数y的相关系数r＝　　　　.(结果保留3位小数)附：≈8.062.
答案：－0.992
解析：根据表格中的数据，可得＝(30＋35＋40＋45＋50)＝40，＝(18＋14＋10＋8＋5)＝11.
可列表如下：
i 1 2 3 4 5
xi－ －10 －5 0 5 10
yi－ 7 3 －1 －3 －6
－70 －15 0 －15 －60
则(xi－)(yi－)＝－160，
＝×＝，因此相关系数r＝＝≈－0.992.
10.(15分)2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x(日) 1 2 3 4 5
y(万人) 45 50 60 65 80
(1)计算x，y的相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
参考公式：＝＝，＝－，r＝，
参考数据：≈1.732.
解：(1)因为＝＝3，＝＝60，
所以＝xiyi－5＝(1×45＋2×50＋3×60＋4×65＋5×80)－5×3×60＝85，
＝＋＋＋(4－3)2＋＝10，
＝＋＋(60－60)2＋＋＝750，
所以r＝＝≈≈0.98，
由此可以认为两者的相关性很强.
(2)由(1)知＝85，＝10，
所以＝＝＝8.5.
因为＝－＝60－8.5×3＝34.5，所以回归方程为Y＝8.5X＋34.5.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知两个变量X和Y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量X的观测数据的平均数都为s，对变量Y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是(　　)
A.l1与l2一定有公共点(s，t)
B.l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)
C.l1与l2必定平行
D.l1与l2必定重合
答案：A
解析：由于回归直线Y＝X＋恒过(，)点，又两人对变量X的观测数据的平均值为s，对变量Y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t).故选A.
12.(多选题)已知由样本数据(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为Y＝－X＋2，且＝4.剔除一个偏离直线较远的异常点后，得到新的回归直线经过点(7，－4).则下列说法正确的是(　　)
A.相关变量x，y具有正相关关系
B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
答案：BC
解析：对于A，由回归直线方程为Y＝－X＋2，可得＝－1＜0，所以相关变量x，y具有负相关关系，故A不正确；对于B，剔除异常点后，变量的拟合程度变大，所以样本相关系数的绝对值变大，故B正确；对于C，由回归直线方程为Y＝－X＋2，且＝4，可得＝－2，剔除一个偏离直线较远的异常点后，得到＝＝6，＝＝－2，即回归直线方程经过点(6，－2)，故C正确；对于D，由新的回归直线经过点，列方程组解得＝10，＝－2，所以新的回归直线方程为Y＝－2X＋10，斜率由－1变成－2，所以剔除该异常点后，随X值的增加相关变量Y值减小的速度变大，故D错误.故选BC.
13.(双空题)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数).令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得线性回归方程为＝x＋7.4，则k＝　　　　；c＝　　　　.
答案：－0.3　e7.4
解析：因为f＝cWk，两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，因为回归直线方程＝x＋7.4必过样本中心点，所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝＝－0.3，ln c＝7.4，即c＝e7.4.
14.(15分)随着全球新能源汽车市场的快速发展，在政策的有力推动下，中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率、较低的用车成本、安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低、续航里程限制、低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码(x) 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年销量(y)/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
(1)若该地区新能源汽车车主的年龄X(单位：岁)近似服从正态分布N，其中年龄X∈(61，69]的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？(结果按四舍五入取整数)
(2)已知变量X与Y之间的相关系数r＝，请求出Y关于X的线性回归方程Y＝X＋，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量X～N，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 4；
②r＝，
＝；
③＝210，＝30.
解：(1)由题意得，该地区新能源汽车车主的年龄X(单位：岁)近似服从正态分布N，
则μ＝45，σ＝8，所以61＝μ＋2σ，69＝μ＋3σ，
P＝P＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈＝0.021 5，
所以估计该地区新能源汽车车主共有≈233万人.
(2)由题意得，＝＝，
所以(xi－)2＝＋＋(3－)2＋＋＋＝，
由已知，r＝＝＝，
所以＝××＝35，
所以＝＝＝2，
所以＝－＝30－2×＝23，
所以Y关于X的线性回归方程为Y＝2X＋23，
2025年对应的年份代码x＝8，所以当x＝8时，Y＝2×8＋23＝39，
估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为Y＝2X＋0.75，且＝1.125，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为Y＝3X＋，则＝(　　)
A.1.1 B.0.5
C.0.8 D.－1.1
答案：C
解析：因为xi＝1.125×8＝9，所以增加两个样本点后x的平均数为＝0.8；因为＝2×1.125＋0.75＝3，所以yi＝3×8＝24，所以增加两个样本点后y的平均数为＝3.2，所以3.2＝3×0.8＋，解得＝0.8.故选C.
16.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，构造向量a＝(x1－，x2－，…，x20－)，b＝，其中＝，＝，并计算得xi＝60，yi＝1 200，xiyi＝4 400，｜a｜＝9，＝100，由教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r＝cos 〈a，b〉，则上述数据的相关系数r＝　　　　.
答案：
解析：由题干数据，xi＝60，yi＝1 200可得＝3，＝60，根据夹角公式的定义，r＝cos〈a，b〉＝，而a·b＝(xi－)(yi－)，根据＝(xiyi－yi－xi＋·)＝xiyi－yi－xi＋·＝xiyi－20·－20·＋20·＝xiyi－20·＝4 400－20×3×60＝800，于是r＝cos 〈a，b〉＝＝＝.
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