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4.1　二项式定理的推导
　
第五章　§4　二项式定理
学习目标
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养逻 辑推理的核心素养.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升 数学运算的核心素养.
任务一　二项式定理
问题导思
新知构建

Tk＋1
(k＋1)
微提醒
典例
1
规律方法
运用二项式定理的解题策略
1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开.
2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，体现的是整体思想.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数，向二项展开式的形式靠拢.

4n－1
典例
2
规律方法
√
对点练2.(1)(2x－y)4的展开式中x3y的系数为
A.－32 B.32
C.8 D.－8
1
返回
任务二　二项式定理的应用
典例
3
√
典例
4
典例
4
－120

规律方法
1.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项：一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项：其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
规律方法
规律方法
3.求三项展开式的特定项的常用方法
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.
√
√
480

3
课堂小结
任务再现 1.二项式定理.2.二项式定理的正用与逆用.3.二项展开式的通项的应用.4.两个多项式乘积的特定项5.三项展开式
方法提炼 转化化归、通项公式法、双通法
易错警示
返回
随堂评价
√
√

x4

返回
课时分层评价
√
1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于
A.9 B.10
C.11 D.8
因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B.
√
√
3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为
A.－50 B.－35
C.－24 D.－10
(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A.
√
4.在(x＋y－2)5的展开式中，x3y的系数是
A.－40 B.－20
C.20 D.40

√

√
√
15


√
√
12.(x－1)3(y＋2)2的展开式中，满足m＋n＝4的xmyn项的系数之和为
A.－3 B.－1
C.1 D.3
√

返回§4　二项式定理
4.1　二项式定理的推导
学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养逻辑推理的核心素养.　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算的核心素养.
任务一　二项式定理
问题1.在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是×bk(k＝0，1，2)的形式.而且bk相当于是从2个(a＋b)中取k个(a＋b)提供b，2－k个(a＋b)提供a的项，即bk的系数是.
问题2.你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
提示：(a＋b)3＝a3＋a2b＋ab2＋b3.
1.二项式定理
(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn，可以简写成(a＋b)n＝an－kbk.这个公式称为二项式定理.
2.相关概念
(1)等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式共有项.
(2)各项系数(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数.
(3)展开式中的an－kbk称为二项式通项，记作Tk＋1，它表示展开式的第(k＋1)项.
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
[微提醒]　(1)每一项中a与b的指数和为n.(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.(3)a与b的位置若交换，展开式形式变化.(4)an－kbk表示的是第(k＋1)项.(5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题.
角度1　二项式的展开式与化简
(链教材P176例1－例3)(1)求的展开式.
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解：(1)＝＝(1＋3x)4＝[1＋(3x)＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4]
＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)1＋(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
运用二项式定理的解题策略
1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开.
2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，体现的是整体思想.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数，向二项展开式的形式靠拢.
对点练1.(1)的二项展开式是　　　　.
(2)计算＋9＋27＋…＋3n＝　　　　　　　.
答案：(1)32x5－80x2＋－＋－　(2)4n－1
解析：(1)＝－＋－＋(2x)()4－·＝32x5－80x2＋－＋－.
(2)31＋32＋33＋…＋3n＝30＋31＋32＋33＋…＋3n－30＝(1＋3)n－1＝4n－1.
角度2　二项式系数与项的系数
(链教材P176例4)在二项式的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)x3的系数.
解：(1)由已知得，二项展开式的通项为＝x9－k＝(－1)kx9－2k，(0≤k≤9，k∈N)
所以T6＝(－1)5＝－126x－1.
所以第6项的二项式系数为＝126，
第6项的系数为－126.
(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，
则由(1)得9－2k＝3，即k＝3，
所以展开式中第4项含x3，
其系数为(－1)3·＝－84.
1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
2.求二项式系数可直接代入求解，求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：
(1)根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n为正整数，r为非负整数，n≥r)；
(2)根据所求的指数，求所求解的项或项的系数.
对点练2.(1)(2x－y)4的展开式中x3y的系数为(　　)
A.－32 B.32
C.8 D.－8
(2)在的展开式中，含x－2的项的二项式系数为　　　　.
答案：(1)A　(2)1
解析：(1)由题设知，展开式通项为Tk＋1＝(－y)k＝24－kx4－k(－1)kyk，所以k＝1时，x3y的系数为×23×(－1)1＝－32.故选A.
(2)由Tk＋1＝＝3k·，k＝0，1，…，6，当k＝6时，含x－2的项为729·x－2，其二项式系数为＝1.
任务二　二项式定理的应用
角度1　求二项展开式中的特定项
已知二项式展开式中的第7项是常数项.
(1)求n；
(2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？
解：(1)因为展开式的第7项是··＝26··，
由于第7项是常数项，故＝0，解得n＝15.
(2)由(1)知，展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·2k··，
若Tk＋1为有理项，则＝5－k为整数，
所以k为6的倍数，
因为0≤k≤15，所以k＝0，6，12，共三个数，
所以展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项.
角度2　两个多项式乘积的特定项
在关于x的展开式中，x2的系数是(　　)
A.30 B.25
C.20 D.15
答案：A
解析：由题意得展开式的通项为Tk＋1＝＝，k＝0，1，2，…，6，令k＝4，得到x2的系数为＝15，令k＝2，得到x2的系数为＝15，所以展开式中x2的系数是15＋15＝30，故A正确.故选A.
角度3　三项展开式
(一题多解)在的展开式中，x2的系数为　　　.(用数字作答)
答案：－120
解析：法一：＝[＋]5，通项为Tk＋1＝，k＝0，1，2，3，4，5.当k＝0时，x2的系数为，当k＝1时，x2的系数为，当k＝2，3，4，5时，不会出现含x2的项，所以x2的系数为＋＝－80－40＝－120.
法二：＝＝，x2的系数即为的展开式中x7的系数，所以x2的系数为＝－120.
法三：表示5个因式x＋－2的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x，其余的3个因式都选－2，相乘可得含x2的项；或者有3个因式选x，有1个因式选，1个因式选－2，相乘可得含x2的项，故x2的系数为＋＝－120.
1.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项：一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项：其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
2.求多项式积的特定项的常用方法
双通法是求多项式积的特定项的常用方法，所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为·＝(bx)k·(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况.
3.求三项展开式的特定项的常用方法
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.
对点练3.(1)(多选题)对于二项式，下列说法正确的是(　　)
A.展开式中的常数项为
B.展开式中的常数项为
C.展开式中的有理项有3项
D.展开式中的有理项有4项
(2)展开式中x4y3z的系数为　　　　　　　.
(3)已知的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为　　　.
答案：(1)AD　(2)480　(3)3
解析：(1)的展开式的第k＋1项，Tk＋1＝＝x－k＝，令3－k＝0，则k＝2，常数项为＝15×＝，故A正确；当k＝0，2，4，6，时Tk＋1为有理项，所以有理项有4项，故D正确.故选AD.
(2)看成6个相乘，从6个因式中选2个x2，再从剩下的4个因式中选3个2y，最后一个选z，即得到展开式中x4y3z的系数为23＝480.
(3)＝2x＋my(x－y)5，因为的展开式通项为Tr＋1＝x5－ryr，则其中xy4的系数为，x2y3的系数为－，所以的展开式中x2y4的系数为2－m＝－20，解得m＝3.
任务再现 1.二项式定理.2.二项式定理的正用与逆用.3.二项展开式的通项的应用.4.两个多项式乘积的特定项5.三项展开式
方法提炼 转化化归、通项公式法、双通法
易错警示 二项式系数与项的系数的区别，bk是展开式的第(k＋1)项
1.在的展开式中，x的系数为(　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
答案：D
解析：由题意得，二项式展开式的通项为Tk＋1＝23－kx3－2k，当3－2k＝1即k＝1时，23－k＝22＝3×4＝12.故选D.
2.二项式的展开式中有理项的项数为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：C
解析：由题意得，二项式展开式的通项为Tk＋1＝·＝(－1)k··，其中k＝0，1，2，…，10，当k＝0，2，4，6，8，10时，展开式为有理项，所以二项式的展开式中有理项的项数为6项.故选C.
3.化简：－4＋6－4(x＋1)＋1＝　　　　.
答案：x4
解析：－4＋6－4(x＋1)＋1
＝＋×＋×(－1)2＋×＋＝[(x＋1)－1]4＝x4.
4.设实数x＞0，试判断与1＋10x＋45x2的大小关系，并说明理由.
解：(1＋x)10＝＋x＋x2＋…＋x10＝1＋10x＋45x2＋x3＋…＋x10，
因为x＞0，所以(1＋x)10＞1＋10x＋45x2.
课时分层评价36　二项式定理的推导
(时间：60分钟　满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于(　　)
A.9 B.10
C.11 D.8
答案：B
解析：因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B.
2.展开式中系数为无理数的项共有(　　)
A.2项 B.3项
C.4项 D.5项
答案：D
解析：因为展开式的通项为Tk＋1＝89－kxk，当k＝1，3，5，7，9时，展开式中系数为无理数，共5项.故选D.
3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为(　　)
A.－50 B.－35
C.－24 D.－10
答案：A
解析：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A.
4.在(x＋y－2)5的展开式中，x3y的系数是(　　)
A.－40 B.－20
C.20 D.40
答案：A
解析：可以理解为5个相乘，要想得到x3y，需要5个因式中有3个取x项，1个取y项，还剩1个取常数项，由题意x3y的系数为：×13××1×＝－40.故选A.
5.若的展开式中常数项是20，则m＝(　　)
A.－2 B.－3
C.2 D.3
答案：D
解析：＝x＋(x－)5，的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－)k＝x5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x的展开式的常数项为－＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则的展开式的常数项为m＝10m，因为的展开式中常数项是20，所以10m－10＝20，解得m＝3.故选D.
6.(多选题)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有(　　 )
A.存在n∈N＋，展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
答案：AD
解析：二项式＝x4k－n，由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项.故选AD.
7.在的展开式中，x7的系数为　　　　　　　.
答案：15
解析：Tk＋1＝＝(－1)k，令12－＝7，解得k＝2，故x7的系数为(－1)2＝15.
8.的展开式中，其中不含x的项为　　　　　　　.
答案：y4和－y7
解析：由二项式定理可得展开式的通项为Tk＋1＝yk＝ykxk－6，所以多项式的展开式中不含x的项分别为x2×y4＝y4和－y×y6＝－y7.
9.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m＝　　　　.
答案：
解析：展开式中含x3的项为x5＝21m2x3，含x2＝21m5·，所以由题意可得21m2＝8×21m5，解得m＝.
10.(15分)已知在的展开式中第二项的二项式系数是5.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x5的项.
解：(1)二项式展开式的通项为Tk＋1＝(其中0≤k≤n且k∈N)，
依题意可得＝5，解得n＝5.
(2)二项式展开式的通项为Tk＋1＝＝25－k(其中0≤k≤5且k∈N)，
令10－k＝5，解得k＝2，
所以T3＝23x5＝80x5，即展开式中含x5的项为80x5.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.若实数a＝2－，则a12－2a11＋22a10－…＋212等于(　　)
A.－32 B.32
C.－64 D.64
答案：D
解析：由题意可得a12－2a11＋22a10－…＋212＝(a－2)12＝＝64.故选D.
12.(x－1)3(y＋2)2的展开式中，满足m＋n＝4的xmyn项的系数之和为(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
答案：C
解析：因为(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(y＋2)2＝y2＋4y＋4，若m＋n＝4，且0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N，则所以xmyn项的系数之和为－3×1＋1×4＝1.故选C.
13.已知的展开式中的常数项为19，则a＝　　　　　.
答案：±
解析：二项式a2＋＋a4＝－12a2＋6＋a4，则－12a2＋6＋a4＝19，解得a2＝13或a2＝－1(舍去)，所以a＝±.
14.(15分)已知f(x)＝，g＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求fg的展开式中含x2的项；
(2)令h＝f＋g，如果h的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
解：(1)当m＝3，n＝4时，f＝，g＝，
所以fg＝，
其中展开式的通项为Tk＋1＝xk，k∈；
展开式的通项为Tr＋1＝，r∈；
所以fg的展开式中含x2的项为1×＋x·＋x2×1＝51x2.
(2)h＝f＋g＝＋，
因为h的展开式中含x的项的系数为12，
所以x＋2x＝12x，即m＋2n＝12，
此时x2的系数为＋4＝＋2n(n－1)＝＋2n
＝4n2－25n＋66＝4－＋66，n∈N＋，
所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.(创新题)设An＝(1＋x)n，Bn＝A1＋A2＋…＋An，则B2 025中x3的系数为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：依题意得，B2 025＝A1＋A2＋…＋A2 025＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)2 025，对于An＝(1＋x)n的通项为Tk＋1＝xk，k＝0，1，…，n，故B2 025中x3的系数为＋＋＋…＋＝(＋)＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…＝＋＝.故选D.
16.在(ax－y＋z)7的展开式中，记xmynzk项的系数为f(m，n，k)，若f(3，2，2)＝，则a的值为　　　　　　　.
答案：
解析：因为在(ax－y＋z)7的展开式中，记xmynzk项的系数为f(m，n，k)，所以xmynzk项的系数f(m，n，k)＝am，即f(m，n，k)＝am，由f(3，2，2)＝，可得a3＝，即35×6a3＝，所以a＝.
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