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4.2　二项式定理的推导
　
第五章　§4　二项式定理
学习目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的 各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学 运算的核心素养.
3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养.
任务一　杨辉三角
问题导思
问题1.根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示：1，7，21，35，35，21，7，1.
新知构建
相等
和
典例
1

√
规律方法
对点练1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第　　行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2.
32

返回
任务二　二项式系数的增减性与最值
问题导思
新知构建
微提醒
(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项.(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项.
典例
2

规律方法
1.二项式系数的最大项
根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
规律方法


返回
任务三　二项式系数的和
问题导思
新知构建
2n
2n－1
若(1－2x)n(n∈N＋)的展开式中x3的系数为－80，则展开式中所有项的二项式系数之和为　　.(以数字作答)
典例
3
32
规律方法
√
对点练3.已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为
A.－35x4 B.35x3
C.－35x4和35x3 D.－35x3和35x4
返回
任务四　二项式定理的综合应用
典例
4
规律方法
求展开式的各项系数之和常用赋值法
“赋值法”是求二项展开式的系数和问题常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值.
1.一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和.
2.三项的可以直接令x＝1，也可以转化二项之后再赋值.
3.有两个变量x，y的可以令x＝y＝1得所有项系数之和.
典例
5
规律方法
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的
关系.
√
对点练4.(1)已知今天是星期四，则67－1天后是
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期五
教材拓展7　杨辉三角
杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.在欧洲，这个表被叫做帕斯卡三角形，帕斯卡的发现要比杨辉晚400年左右.下面介绍中学阶段常用到的8个性质，给大家分享一下：
典例
6
√
√
√

对点练5.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…记这个数列前n项和为Sn，则S13＝　　　.
111

课堂小结
任务再现 1.杨辉三角.2.二项式系数的增减性与最值.3.二项式系数之和与二项展开式各项系数之和.4.整除和余数问题
方法提炼 赋值法
易错警示 系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数
返回
随堂评价
√
1.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是
第0行 1
第1行 1　1
第2行 1　2　1
第3行 1　3　3　1
第4行 1　4　6　4　1
第5行 1　5　10　10　5　1
……
A.14 B.15
C.16 D.17
√
2.(多选题)若(x－2)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能是
A.6 B.7
C.8 D.9
√
√
当n为偶数时，若n＝8，第5项二项式系数最大；当n为奇数时，若n＝7，第4，5项二项式系数最大，合乎题意；若n＝9，第5，6项二项式系数最大，合乎题意；故n的值为7，8，9.故选BCD.
7
21

返回
课时分层评价
√
1.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第4项和第5项
√
√
3.(1－x)10的展开式中，系数最小的项是
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项

√
4.89被6除所得的余数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√

√
√
√

7.(2x－y＋1)5的展开式中，所有项的系数和为　　.
32
令x＝y＝1，得(2×1－1＋1)5＝32，所以所有项的系数和为32.
135x
9.“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第211行中最大数为　　　　　(用符号表示即可).
√
√
√
√

10
1.105
√
3n

返回4.2　二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.　2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养.
任务一　杨辉三角
问题1.根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示：1，7，21，35，35，21，7，1.
1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等，即＝.
2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，即＝＋.
杨辉三角(如下图所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2 025行，每行的第3个数字之和为(　　)
A. B.
C.－1 D.－1
答案：B
解析：由题意可知，从第2行开始，第n行的第3个数字为，故从第2行到第2 025行，每行的第3个数字之和为＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝.故选B.
1.本题的突破口在于找到(a＋b)n展开式的二项式系数为，，，…，，…，.
2.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解.注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察.
对点练1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第　　　　行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2.
答案：32
解析：第n行从左到右第11个数为，第12个数为，依题意得＝，即＝＝＝，解得n＝32.
任务二　二项式系数的增减性与最值
问题2.(a＋b)n展开式的二项式系数为，，，…，，…，.设f＝(k＝0，1，…，n)，则f随着k的变化是如何变化的？
提示：可作商比较f与f的大小：＝.当k＜时，＞1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k＞时，二项式系数逐渐减小.
1.增减性：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞时，二项式系数是逐渐减小的.
2.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.
[微提醒]　(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项.(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项.
已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的项为　　　　.
答案：15 360
解析：由题意可知＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tk＋1＝2k.设第k＋1项的系数最大，则≤k≤，因为k∈N，所以k＝7，所以展开式中的系数最大的项为T8＝27＝15 360.
1.二项式系数的最大项
根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数的最大项
展开式中系数的最大项与二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项系数最大，应用解出k，即得系数的最大项.
对点练2.已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝　　　　.
答案：
解析：由题意可得a＝＝70，又展开式的通项为Tk＋1＝2kxk，设第k＋1项的系数最大，则
即
解得求得k＝5或6，此时b＝7×28，所以＝＝.
任务三　二项式系数的和
问题3.在二项展开式(a＋b)n＝an＋b＋b2＋…＋bk＋…＋bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
提示：＋＋＋…＋＝2n；＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1.
1.＋＋…＋＝2n.
2.＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1.
若(1－2x)n(n∈N＋)的展开式中x3的系数为－80，则展开式中所有项的二项式系数之和为　　.(以数字作答)
答案：32
解析：根据(1－2x)n(n∈N＋)的展开式的通项为Tr＋1＝·(－2)r·xr，当r＝3时，－·23＝－80，解得n＝5；故所有项的二项式系数之和为25＝32.
(a＋b)n展开式的各二项式系数特指n＋1个组合数：，，，…，，与a，b没有任何关系，只与指数n有关，所有二项式的系数和为2n；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等且为.
对点练3.已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　)
A.－35x4 B.35x3
C.－35x4和35x3 D.－35x3和35x4
答案：C
解析：由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项，中间项为第4项与第5项，T4＝x4(－1)3＝－35x4，T5＝x3(－1)4＝35x3.故选C.
任务四　二项式定理的综合应用
角度1　二项展开式的系数和问题
设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
解：(1)在＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100中，
令x＝0，得a0＝2100.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100＝1，①
所以a1＋a2＋…＋a100＝1－2100.
(3)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝(2＋3)100＝5100　②，
①②两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.
[变式探究]
1.(变设问)条件不变，求＋＋＋…＋的值.
解：对＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其展开式的通项公式为Tk＋1＝2100－k＝×2100－kxk，所以x是奇数次方的项的系数为负，x是偶数次方的项的系数为正，所以＋＋＋…＋＝a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝5100.
2.(变设问)条件不变，求－的值.
解：(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100)＝1·5100＝5100.
求展开式的各项系数之和常用赋值法
“赋值法”是求二项展开式的系数和问题常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值.
1.一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和.
2.三项的可以直接令x＝1，也可以转化二项之后再赋值.
3.有两个变量x，y的可以令x＝y＝1得所有项系数之和.
角度2　整除和余数问题
判断5555＋9是否能被8整除？并推理证明.
解：能被8整除，证明如下：
因为5555＋9＝＋9＝5655＋5654＋5653＋…＋561＋＋9
＝5655＋5654＋5653＋…＋561＋8，
注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除，
所以5555＋9能被8整除.
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
对点练4.(1)已知今天是星期四，则67－1天后是(　　)
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期五
答案：B
解析：67－1＝(7－1)7－1，故(7－1)7－1＝·77·(－1)0＋·76·(－1)1＋…＋·70·(－1)7－1＝77＋76×＋75×＋…＋71×－2.前面7项均能被7整除，则67－1被7整除余5，故67－1天后是星期二.故选B.
(2)已知(x－1)(mx＋1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.
①若m＝－1，求a1＋a3＋a5＋a7的值；
②若a2＝－70，求m的值.
解：①在(x－1)(－x＋1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8中，
取x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，
取x＝－1，得－256＝a0－a1＋…＋a8，
以上两式相减，得a1＋a3＋a5＋a7＝128.
②(mx＋1)7的通项为Tk＋1＝(mx)7－k＝m7－kx7－k，
若a2＝－70，可得m－m2＝－70，
所以3m2－m－10＝0，解得m＝2或－.
[教材拓展7]　杨辉三角
杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.在欧洲，这个表被叫做帕斯卡三角形，帕斯卡的发现要比杨辉晚400年左右.下面介绍中学阶段常用到的8个性质，给大家分享一下：
杨辉三角的常见性质：
(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1.
(2)第n行的第r＋1个数是＝.
(3)从第二行起，不在两端的任意一个数，都等于它“肩上”的两个数之和，即＝＋.
(4)当r＜时，二项式系数是逐渐变大的；当r＞时，二项式系数是逐渐变小的.
(5)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
(6)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n.
(7)第n行奇数项之和等于偶数项之和，所有数的和为2n，即＋＋…＝＋＋…＝2n－1.
(8)自腰上的某个1开始平行于腰上的每一条直线上的连续个数之和等于最后一个数斜右下方的那个数，即＋＋＋…＋＝.
(多选题)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是(　　)
A.第n行的第r(r≤n)个位置的数是
B.1＋＋＋＝
C.第2 025行的第1 013或1 014个数最大
D.第28行中第5个数与第6个数的比值为
答案：ABC
解析：对于A，由杨辉三角可得：第n行的第r(r≤n)个位置的数是，故A正确；对于B，因为1＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝，所以1＋＋＋＝，故B正确；对于C，因为第2 025行的第k(k≤2 026)个位置的数是，由组合数性质可知：的最大值，所以第2 025行的第1 013或1 014个数最大，故C正确；对于D，第28行中第5个数与第6个数的比值为＝，故D错误.故选ABC.
对点练5.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…记这个数列前n项和为Sn，则S13＝　　　.
答案：111
解析：由“杨辉三角”的性质，得S14＝＋＋…＋＝＋＝＋(＋＋…＋)＝＋＝35＋＝…＝35＋＝35＋＝119，所以S13＝S14－＝119－8＝111.
任务再现 1.杨辉三角.2.二项式系数的增减性与最值.3.二项式系数之和与二项展开式各项系数之和.4.整除和余数问题
方法提炼 赋值法
易错警示 系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数
1.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是(　　)
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
……
A.14 B.15
C.16 D.17
答案：B
解析：由杨辉三角知：第n行，第r，所以第15行第15个数是＝＝15.故选B.
2.(多选题)若(x－2)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案：BCD
解析：当n为偶数时，若n＝8，第5项二项式系数最大；当n为奇数时，若n＝7，第4，5项二项式系数最大，合乎题意；若n＝9，第5，6项二项式系数最大，合乎题意；故n的值为7，8，9.故选BCD.
3.(双空题)二项式展开式的各二项式系数之和为128，n＝　　　；该展开式中x3项的系数为　　　.
答案：7　21
解析：因为二项式展开式的各二项式系数之和为128，即2n＝128＝27，解得n＝7，所以展开式的通项为Tk＋1＝x7－k＝x7－2k(0≤k≤7且k∈N)，令7－2k＝3，解得k＝2，所以展开式中x3项的系数为＝21.
4.已知＝a0＋a1x＋…＋a11x11，则a1＋a3＋…＋a11＝　　　　.
答案：
解析：令x＝1，得a0＋a1＋…＋a11＝311①，令x＝－1，得a0－a1＋…－a11＝1②，①－②，得2(a1＋a3＋…＋a11)＝311－1，即a1＋a3＋…＋a11＝.
课时分层评价37　二项式系数的性质
(时间：60分钟　满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为(　　)
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第4项和第5项
答案：C
解析：依题意，偶数项的二项式系数之和为＝128，得n＝8，则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项.故选C.
2.设＝a0＋a1x＋…＋a5x5，若a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a3＝(　　)
A.40 B.－40
C.80 D.－80
答案：B
解析：令x＝1，则可得＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，又a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则m＝1，又a3为x3的系数，且22＝－40x3，因此a3＝－40.故选B.
3.(1－x)10的展开式中，系数最小的项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
答案：C
解析：依题意，(1－x)10的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k＝(－1)kxk，其系数为(－1)k，当k为奇数时，(－1)k才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是二项式系数的最大项，所以当k＝5时，(－1)k取得最小值，即第6项的系数最小.故选C.
4.89被6除所得的余数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：89＝＝69＋68×2＋67×22＋…＋6×28＋29，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为29被6除的余数，而29＝512，被6除的余数为2，所以89被6除的余数为2.故选B.
5.已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：的展开式的通项为Tk＋1＝·＝·ak·x18－4k，由题可知＜a＜.故选A.
6.(多选题)已知展开式中各项二项式系数之和为128，则(　　)
A.n＝7
B.展开式的各项系数之和是－1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
答案：ACD
解析：由题意可知2n＝128，则n＝7，故A正确；令x＝1，则＝1，故B错误；因为n＝7，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4，5项二项式系数最大，分别为，故C正确；设展开式的通项为Tk＋1＝··＝·27－k··x7－3k，显然7－3k＝0无整数解，故D正确.故选ACD.
7.(2x－y＋1)5的展开式中，所有项的系数和为　　　　　　　.
答案：32
解析：令x＝y＝1，得(2×1－1＋1)5＝32，所以所有项的系数和为32.
8.已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为　　　　.
答案：135x
解析：令x＝1，得各项系数之和为＝4n，由已知得＝64，所以n＝6，所以二项式的展开式的通项为Tk＋1＝＝3kx3－k，所以T3＝9x＝135x.
9.“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第211行中最大数为　　　　　(用符号表示即可).
答案：或
解析：依题意，第211行中各数是二项式(a＋b)211展开式的二项式系数，最大数为中间相等的两项，即.
10.(15分)已知的展开式的各二项式系数和与各项系数和均为128.
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项.
解：(1)因为的展开式的各二项式系数和为2n，各项系数和为，
所以由已知得2n＝128，故n＝7，
所以＝128，解得a＝－1，
所以该二项式为，其通项为Tk＋1＝，k＝0，1，2，…，7，
所以当k＝2，6时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为T3＝x2＝21x2，T7＝＝7x－1.
(2)因为展开式的通项为Tk＋1＝，k＝0，1，2，…，7，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第4或第5项，
所以展开式中系数最大的项为T4＝＝35和T5＝＝35.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知的展开式中各项的二项式系数之和为M，各项的系数之和为N，若M－N＝63，则展开式中的常数项为(　　)
A.180 B.60
C.280 D.240
答案：D
解析：的展开式中各项的二项式系数之和M＝2n.对于，令x＝1，则N＝(2×1－)n＝1.由M－N＝2n－1＝63，解得n＝6.所以(2x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝(－)k＝×26－kx6－3k，令6－3k＝0，则k＝2，故的展开式中的常数项为T3＝×24×＝240.故选D.
12.(多选题)若(2x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　)
A.a0＝1
B.a2＋a4＋a6＋…＋a10＝
C.a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310
D.a1＋a3＋…＋a9＝
答案：ABC
解析：因为(2x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，令x＝0，可得a0＝1，故A正确；再令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310，故C正确；x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋a10＝1，两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋…＋a10＝，故a2＋a4＋a6＋…＋a10＝－a0＝，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝，故B正确，D错误.故选ABC.
13.(双空题)已知二项式展开式中各项的二项式系数的和为1 024，则n＝　　　　　　.试估算x＝1时，的值为　　　　　　.(精确到0.001)
答案：10　1.105
解析：二项式展开式中各项的二项式系数的和为2n＝1 024，解得n＝10，当x＝1时，＝1＋·0.01＋·0.000 1＋…＋·0.0110≈1＋·0.01＋·0.000 1＝1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105.
14.(15分)已知＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋…＋a2 025.
(1)求a1；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 025的值.
解：(1)因为＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋…＋a2 025，
令t＝x－1，则＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2 025t2 025，
则展开式的通项为Tk＋1＝t2 025－k(0≤k≤2 025且k∈N)，
令2 025－k＝1，解得k＝2 024，
所以T2 025＝t＝2 025t，
所以a1＝2 025.
(2)对于＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2 025t2 025，
令t＝0，可得a0＝＝－1；
令t＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝1.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.(数学文化)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b.若a＝＋×3＋×32＋…＋×320，a≡b，则b的值可以是(　　)
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
答案：D
解析：a＝＋×3＋×32＋…＋×320＝＝420＝＝×520＋×519×＋×518×＋…＋×5×＋×，a被5除得的余数为1，选项中的数被5除得的余数为1的只有2 026.故选D.
16.如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则2i－1·ai＝　　　　.
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
……
答案：3n
解析：由题意知，ai＝，则当n≥1时，2i－1·ai＝20＋2＋22＋…＋2n＝(1＋2)n＝3n，
当n＝0时，2i－1·ai＝20a1＝1，也符合上式.综上，2i－1·ai＝3n.
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