资源简介

15.1.2 线段的垂直平分线
【学习目标】
1．了解线段的垂直平分线的定义．
2．探索线段垂直平分线的性质和判定，并能进行有关计算和证明．
3．了解互逆命题和互逆定理的概念，能够由原命题写出其逆命题．
【新知探究】
知识梳理1 线段的垂直平分线
知识梳理2 线段垂直分线和垂线的尺规作图
知识梳理3 互逆命题和互逆定理
知识梳理1 线段的垂直平分线
1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
线段的垂直平分线的性质．
2．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【例1】　（2025 辉南县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【例2】　（2025 昭通模拟）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【例3】　（2024秋 丹阳市期末）如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，若AB＝2，BC＝3，则△ABE的周长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例4】　（2025春 太原月考）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．17 C．18 D．21
【例5】　（2025春 雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E连接BD．
（1）若CE＝6，△BDC的周长为28，求BD的长．
（2）若∠ADM＝70°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
知识梳理2 线段垂直分线和垂线的尺规作图
（1）作线段的垂直平分线
①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD．直线CD就是所求作的垂直平分线．
（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线
①任意取一点M，使点M和点P在直线l的两旁；
②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B；
③分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点N；
④作直线PN直线PN就是所求作的垂线．
【例6】　（2025春 朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠AED＝∠C
C．AE＝BE D．∠BDE＝∠BAC
【例7】　（2025春 昭阳区月考）如图，在△ABC中，∠C＝82°分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD．若DA平分∠CDN，则∠CAD的度数为（　　）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【例8】　（2025 立山区三模）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　）
A．66° B．77° C．78° D．101°
【例9】　（2025春 海陵区期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点P作直线l的垂线．其中作法正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
知识梳理3 互逆命题和互逆定理
1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
3．说明
（1）一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．例如，关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立．
（2）在几何中，有许多互逆的定理．例如，关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理．
（3）命题有真有假，但定理都是真命题．
（4）每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理．
【例10】　（2024 无锡模拟）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　）
（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）对顶角相等；
（3）在三角形中，相等的角所对的边也相等；
（4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例11】　（2022秋 仁寿县期末）命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是　 　 ．
【例12】　（2011春 灌南县校级期末）“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是　 　 ．
【课后巩固】
一、选择题（共10小题）
1．（2025春 未央区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．10 D．8
2．（2025春 垦利区期末）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P，则∠BOP＝∠BPO．若∠OAB＝50°，则∠ABN的度数为（　　）
A．60° B．120° C．50° D．100°
3．（2025春 龙口市期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝48°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．36° D．40°
4．（2025春 乾县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，若NC＝3，BC＝4，则AC的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（2025春 桥西区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D．若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　）
A．25cm B．40cm C．45cm D．50cm
6．（2025春 东港市期末）如图，在△ABC中MP、NQ分别垂直平分AB、AC．若BC＝20cm，则△APQ的周长是（　　）
A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm
7．（2025春 曲沃县期末）如图，已知∠AOB＝45°，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，过点P作PQ∥OB交OA于点Q，则∠OPQ的度数是（　　）
A．22.5° B．30° C．20° D．25°
8．（2025春 中宁县期末）如图在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．65° D．55°
9．（2025春 顺德区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝4，CD＝2，则AC的长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
10．（2025春 包头期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，且点D为线段CE的中点，连接AE．若AC＝6，CD＝2，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题（共10小题）
11．（2025春 芗城区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是　 　 ．
12．（2025春 芗城区校级月考）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．若∠C＝30°，则∠BAC＝ 　 　 °．
13．（2025春 胶州市校级月考）如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ 　 　 °．
14．（2024秋 衡东县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　 　 ．
15．（2025春 徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝25°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且AB+BN＝BC，则∠B的度数是 　 　 °．
16．（2025春 惠济区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝8，BC＝5，则△BCE的周长为 　 　 ．
17．（2025春 长安区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，线段AB的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，则△BNC的周长为 　 　 ．
18．（2025春 碑林区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　 　 ．
19．（2025春 成华区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝11，且∠B＝2∠C．分别以A，C为圆心，大于的长为半径，画弧相交于M，N，过M，N作直线交BC于点D，连接AD，则△ACD的面积为　 　 ．
20．（2024秋 衡阳期末）如图，∠ACB＝70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为　 　 ．
三、解答题（共6小题）
21．（2025春 西安月考）尺规作图：如图，已知∠AOB，请作出它的角平分线OC（不写作图步骤，保留作图痕迹）．
（2025春 富平县期末）如图，在△ABC中，点P为AC上一点，连接BP．请用尺规作图法作BP的垂直平分线EF，使得直线EF交AB于点E，交BC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
23．（2025春 未央区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交线段BC于点D、E（点E在线段BD上）．
（1）若BC＝13，DE＝5，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝80°，求∠DAE的度数．
24．（2025春 市中区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数．
25．（2025春 蒲城县期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E，连接BE，点F在线段CE上，连接BF．
（1）若BF是CE的垂直平分线，请判断AE与BC的数量关系，并说明理由；
（2）若BF是△BCE的角平分线，∠A＝35°，∠C＝80°，求∠CBF的度数．
26．（2025春 山丹县校级期末）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝4cm，AC＝8cm，求△ABE的周长．

展开更多......

收起↑