资源简介

2025-2026学年人教版数学九年级上册
24.1.2 垂直于弦的直径 预习讲义
思维导图
学习目标
理解垂径定理及其推论，掌握直径与弦垂直时的性质关系
能运用垂径定理解决弦长、弦心距、半径之间的计算问题
掌握利用垂径定理作弦的垂直平分线的方法
培养通过几何画图验证定理的实践能力
知识点梳理
1. 垂径定理（核心定理）
内容：直径垂直于弦时，必然平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
几何语言：若直径AB⊥弦CD于E，则CE=ED，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。
2. 垂径定理的推论
推论1：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦，并平分其对应的弧。
推论2：弦的垂直平分线必过圆心，且平分该弦对应的弧。
3. 相关概念与关系
弦心距：圆心到弦的距离（即垂线段长度），与弦长、半径满足勾股定理：
（为半径，为弦心距，为弦长）。
应用场景：计算拱桥高度、管道直径等实际问题。
4. 作图方法
已知弦和圆心时，通过作弦的垂线（即直径）确定平分点。
已知弦的垂直平分线时，利用其过圆心的性质确定圆心位置。
易错点提醒
定理条件混淆：
错误认为“平分弦的直线一定垂直于弦”（需强调被平分的弦不能是直径）。
忽略“直径”条件，误将普通弦的垂直平分线当作直径。
计算错误：
未正确建立弦心距、半径、弦长的勾股关系，导致公式套用错误。
混淆弦长与半弦长（如计算时未将弦长除以2）。
几何作图问题：
作垂直平分线时未通过圆心，导致结论错误。
误将非直径的弦当作对称轴使用。
知识点小结
核心定理：垂径定理是圆的对称性的直接体现，揭示了直径、弦、弧的垂直平分关系。
关键公式：弦长计算 ，弦心距 。
应用要点：
实际问题中优先确定圆心和半径。
证明题中常需连接半径构造直角三角形。
注意事项：
垂径定理仅适用于直径与弦垂直的情形。
平分弦的直径必须满足“弦非直径”的条件。
注：本节是圆的性质的核心内容，需结合图形理解定理的几何意义，并通过典型例题掌握计算与证明方法。
巩固练习
一、选择题
1．如图，残破的轮子上，弓形的弦 为 8 cm ，高 为 2 cm ，则这个轮子的半径长为（ ）
A． B．5 C． D．17
2．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
3．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（　　）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
4．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列判断正确的是(　　)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
二、填空题
6．一根排水管的截面如图所示．已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 为　 　cm ．
7．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为　 　．
8．的半径长为5，弦，则弦的弦心距为　 　．
9．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为　 　．
三、解答题
10．如图，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM．
11．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称为跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择．①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
（1）如果设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式：
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
12．如图，在同心⊙O中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆交于CD，AB=8，CD=3．
（1）求AC的长；
（2）求小圆的半径．
参考答案
1．B
2．D
3．D
4．B
5．C
6．5
7．cm
8．4
9．5米
10．证明：如图，连结OM，ON．
∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB=CD，∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM．
∵∠AMN=90°-∠OMN，
∠CNM=90°-∠ONM，．
∴∠AMN=LCNM．
11．（1）解：抛物线的解析式为，
抛物线经过点
∴c=8，
抛物线经过点，
，解得：．
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，可得为弧的中点，于，延长经过点，
则，
设的半径为，
∵在中，，OB=R，OD=R-8，
，解得．
∴圆弧所在圆的半径为20米．
12．（1）解：
过O作OH⊥AB于H，
∵OH过O，OH⊥AB，AB=8，CD=3，
∴AH=BH=4，CH=DH= ，
∴AC=BD= （AB﹣CD）= ；
（2）解：连接OA和OD，
∵OA=5，AH=4，
∴由勾股定理得：OH=3，
∵HD= ，
∴由勾股定理得：OD= = ，
即小圆的半径为 ．

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