资源简介

2025-2026学年人教版数学九年级上册
24.1.4 圆周角 预习讲义
思维导图
学习目标
理解圆周角的定义，能准确区分圆周角与圆心角。
掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决几何问题。
能证明圆周角定理，理解其与圆心角定理的关系。
会利用圆周角定理计算角度或证明弧、角相等关系。
知识点梳理
圆周角的定义
顶点在圆上，两边都与圆相交的角称为圆周角（如∠ACB）。
特征：顶点在圆周，两边为圆的弦。
圆周角定理（核心定理）
内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
几何语言：若弧AB所对的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB，则∠ACB= ∠AOB。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：直径所对的圆周角是直角（即90°）。
圆周角与弧的关系
在同圆或等圆中，圆周角相等 所对的弧相等 所对的弦相等。
应用：通过圆周角相等证明弧或弦的相等关系。
解题方法
遇圆周角问题，优先连接圆心与圆周角顶点，构造圆心角辅助分析。
直径相关的圆周角问题，直接应用“直径对直角”推论。
易错点提醒
概念混淆
误将圆心角当作圆周角，或混淆两者的倍数关系（圆周角= 圆心角）。
忽略“同弧或等弧”条件，直接比较不同弧的圆周角。
定理误用
未区分弧的优劣（如误用劣弧所对的圆周角分析优弧）。
直径推直角时，未验证圆周角顶点是否在直径两端。
证明疏漏
忽略圆周角位置的三种情况（圆心在角的一边、内部或外部），需分类讨论。
计算时未利用圆心角与圆周角的定量关系，导致角度求解错误。
作图问题
辅助线遗漏：未连接圆心与相关点构造圆心角。
误判弧的对应关系，导致圆周角与圆心角匹配错误。
知识点小结
核心定理
圆周角定理是圆的性质的核心，揭示了圆周角与圆心角的定量关系。
推论“直径对直角”是证明直角三角形的重要工具。
应用要点
解题时先标注已知圆周角及对应弧，再转化为圆心角分析。
复杂图形中，优先寻找同弧所对的多个圆周角或圆心角。
注意事项
所有推论必须基于“同圆或等圆”的前提。
涉及多组圆周角时，需明确每条弧的对应关系，避免交叉混淆。
注：本节内容需结合图形动态理解圆周角与圆心角的关系，通过典型例题掌握证明与计算方法，为后续学习圆内接四边形奠定基础。
巩固练习
一、选择题
1．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是的弦，，，则的直径等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　）
A．48° B．96° C．114° D．132°
4．如图，点A，在上，且，点是劣弧上一个动点（点不与点A，重合），在点运动的过程中，=（　　）
A． B．
C．或 D．不能确定大小
5．如图，内接于，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，线段AB是半圆O直径。分别以点A和点O为圆心，大于AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE=1，则BC的长是（　　）
A． B．4 C．6 D．
二、填空题
7．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于M，N两点，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的直径是　 　
8．如图，OM为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为　 　.
9．若四边形为内接四边形，，则　 　°．
10．如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为　 　 ．
11．如图，已知点 O 是四边形ABCD 内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO=　 　度.
12．如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E 为射线CD 上一动点，以CE 为边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连接 BE，DG，两直线 BE，DG 相交于点P，连接AP，当线段 AP 的长为整数时，AP 的长为　 　.
三、解答题
13．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点．
（2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度．
14．已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接．
（1）当点E是的中点时，求的度数；
（2）当时，求的值；
（3）求证：．
15．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．10cm
8．70°
9．或
10．
11．150
12．1或2
13．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，-
∵OD是⊙O的半径，
∴BE＝CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵BC＝10，DE＝3，
∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，．
在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2，
解得，
∴
14．（1）解：
∵，点E是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴设，，，设的半径为，
∴，
在中，，即，
解得，
在中，，
∴；
（3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（1）证明：为的中点，
，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．

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