资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
6.3 空间几何中的垂直（精讲）
考向一 线面垂直
【例1-1】（2025北京）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．

【答案】证明见解析
【解析】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以，
又底面ABCD为正方形，所以．
因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，
所以平面ADP，
又平面ADP，所以，
因为，且CD，平面CDP，
所以平面CDP．
【例1-2】（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且，求证：平面

【答案】证明见解析；
【解析】因为所以，
所以，所以，
由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
【例1-3】（24-25河南焦作）如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为平面，平面，所以平面平面，
因为，点D为中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，故，
因为．所以，所以，
因为，，平面，所以平面.
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案．
因为底面为正方形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为是线段的中点，是线段的中点，
所以，
所以平面．
2．（2025湖南）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面.
【答案】证明见解析
【解析】因为直四棱柱中，底面，底面，
所以，
因为菱形，所以，
，平面，
所以平面．
3．（2025海南）已知三棱台如图所示，其中．若直线平面，且，求证：直线平面．

【答案】证明见解析
【解析】依题意，，，，如图所示，延长三条侧棱交于点D；

由可得，，且分别为线段DA，DB，DC的中点，
取AB的中点M，则；
由可得，则，
又，；
，则，故，
即，而，且平面，故平面，
又平面，故平面平面；
而直线平面，，平面平面，
故直线平面；
4．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意可知在三棱柱中，，，所以为等边三角形，所以，
又，，故，
可得，因此，
又因为平面，平面，所以，即，
又，所以平面；
（2）由（1）可知,由平面，平面，
所以，则为直角三角形，
由平面，平面，所以，即，
所以在中，,
则在中，,
所以的面积为.
连接，因为，，所以，
因为平面，所以，即两两垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，解得，取,
所以点到平面的距离,
则三棱锥的体积.
考向二 面面垂直
【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，点为半圆O圆弧上的两个三等分点，，，E为PD的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如图①，取PA的中点F，连接EF，BF，

又E为PD中点，则，，
因为B，C为半圆O圆弧上的两个三等分点，所以，，
所以，，所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
又平面PAB，平面，
所以平面PAB．
（2）如图②，连接OC，则，

由（1）可得，，所以四边形为菱形，则，
由题意得，
又，，AC，平面，
所以平面PAC，
又平面，
所以，
由E为PD的中点,O为AD的中点,得，
又，
∴，.
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．

【答案】证明见解析
【解析】因为在梯形ABCD中，，
，，P为AB的中点，
所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形，
所以，所以，所以，所以O为AC的中点，
又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC，
又因为平面，所以平面平面ABC．
2．（2025福建）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接，连接并延长交于点，
因为是底面的内接正三角形，易得为的中点，
所以，即．
因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．因为平面平面，所以．
因为平面，所以平面．
3．（2025广东）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，点E在棱PA上，且．证明：平面平面DBE．

【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，，
所以，所以，即．
因为，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，AD，平面，所以平面．
如图，连接，交于，连接，
因为，所以，
所以，所以，得，
因为，所以，

所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
考向三 线线垂直
【例3-1】（2025湖北）已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接并延长交于，连接，
因为为的重心，所以为的中点，
在三棱柱中，
因为，
所以，所以，
因为为的中点，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以．
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面，平面，，
又是矩形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，故A正确；
同理可得，可证平面，可得，故B正确；
又平面，所以，故D正确；
对于C，若，又，平面，
所以平面，又平面，所以与题目矛盾，故C错误.
故选：C.
2．（2025赏析）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，记与交于点，连接．
因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点．
因为，所以．
因为为中点，所以，又，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
因为平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
3．（2025·山西太原）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形，求证：

【答案】证明见解析
【解析】证明：设是的中点，连结，，
∵平面，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵平面平面，∴平面，

∴，∴，，，共面，
∵四边形边长为2的菱形，，，
在中，，
∴，∴，
∵四边形为菱形，∴，∴，
∵，∴平面，∴．
考向四 垂直中的动点
【例4】（2025湖北）如图，在正四棱锥中，是中点，与底面所成角的正切值为，请在平面中找一点，使得平面.
【答案】为的四等分点
【解析】取的中点，如图，不妨设底面边长为4，取中点，
由题可知平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
又平面，所以就是与底面所成角，
则，
即，所以为正三角形.
取中点，连接，则.
由平面平面，故有平面，
平移到，.
由中位线定理得，
所以为的四等分点.
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，侧棱长为4，，，点是的中点，是侧面（不含边界）上的动点．要使平面，则线段的长的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直三棱柱中，平面，平面，
∴
∵，是的中点，∴，
又平面，∴平面，
∵平面，∴.
令，
由平面，得，
，即，
在中，,，得
∴，则，
.
当两点重合时，线段最长，两点重合时，线段最短，
所以的取值范围是.

故选：D.
【一隅三反】
1．（2025山东）如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在平面内，在平面内，
将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：

则的最小值就是平面四边形内的长，
在直三棱柱中，平面，平面，
，
，，即，
，平面，平面，
平面，，
，，
在中，，，，
由余弦定理可得.
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点，在平面内找一点，使得平面.

【答案】答案见解析
【解析】设的中点为，连接，
因为平面底面，平面底面，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以，
又为中点，为 的中点，所以，则，
又平面，所以平面，
如图，平移线段到，则即为所求，且.

3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)平面与平面垂直，证明见解析
【解析】（1）连接，如图，

因为分别是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面与平面垂直，证明如下：
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为为的中点，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
4．（2025湖北）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，
则，
又平面，平面，
则有，
而，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）在平面内过点作交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则点即为所要找的点，
如下图所示，因为，，
所以与相似，
因此，
即有，于是，，所以.
考向五 垂直的判定定理及性质定理的辨析
【例5-1】（24-25湖北）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，， 则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于A，若，，，则，故A正确；
对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确；
对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误；
对于D，若，则，又，，则，故D正确.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25 吉林 ）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若，则平行、相交或异面均有可能，故A错误；
对于选项B：若，则与不一定垂直，且，所以与不一定垂直，故B错误；
对于选项C：若，则可能有或，故C错误；
对于选项D：若，可知，且，所以，故D正确，
故选：D.
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由得：
存在，满足，
若，则直线垂直平面中任意一条直线，
，，，，
，，，是否相交不确定，不一定成立，
“，”是“”的必要不充分条件．
故选：B
3．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
对于B，若，设，，，则．
又，则．
因为，，则，
所以，故B正确；
对于C，若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
对于D，若，，则，或，故D错误．
故选：B．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.3 空间几何中的垂直（精讲）
考向一 线面垂直
【例1-1】（2025北京）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．

【例1-2】（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且，求证：平面

【例1-3】（24-25河南焦作）如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且，证明：平面
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面．
2．（2025湖南）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面.
3．（2025海南）已知三棱台如图所示，其中．若直线平面，且，求证：直线平面．

4．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．
考向二 面面垂直
【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，点为半圆O圆弧上的两个三等分点，，，E为PD的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．

2．（2025福建）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面．
3．（2025广东）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，点E在棱PA上，且．证明：平面平面DBE．

考向三 线线垂直
【例3-1】（2025湖北）已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：．
【一隅三反】
1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025赏析）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：．
3．（2025·山西太原）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形，求证：

考向四 垂直中的动点
【例4】（2025湖北）如图，在正四棱锥中，是中点，与底面所成角的正切值为，请在平面中找一点，使得平面.
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，侧棱长为4，，，点是的中点，是侧面（不含边界）上的动点．要使平面，则线段的长的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025山东）如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点，在平面内找一点，使得平面.

3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由.
4．（2025湖北）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
考向五 垂直的判定定理及性质定理的辨析
【例5-1】（24-25湖北）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，， 则
C．若，，，则
D．若，，，则
【一隅三反】
1．（24-25 吉林 ）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑