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(共24张PPT)
综合实践 最短路径问题
1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. (重点、难点)
2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想.
大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马→宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味智题 。
①两点的所有连线中，线段最短.
我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
我们以前学过：
活动探究一： 将军饮马问题
l
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小.
如何把这个问题抽象为数学问题？
C
问题1：如图，点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小？依据是什么？
连接 AB ，交直线 l 于点 C ，则 AC ＋BC 最小．
依据：两点之间，线段最短.
活动探究一： 将军饮马问题
问题2：如果 A，B 位于直线 l 的同侧时，如何使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小 .
如图，我们可作出点 B 关于 l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 B′C＝BC .
则 AC ＋ BC＝ AC＋B′C .
问题转化为：
B′
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 B′C 的和最小？
活动探究一： 将军饮马问题
问题3：根据上面的分析，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小？
C
在连接 A，B′ 两点的所有线段中，线段 AB′ 最短．
因此，线段 AB′ 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即此时AC ＋ BC 最小．
B′
活动探究一： 将军饮马问题
作图过程：
(1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
活动探究一： 将军饮马问题
思考：你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与
点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知
BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′，
∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短．
活动探究一： 将军饮马问题
同侧转化异侧
实际问题
数学问题
通过轴对称将同侧点转化为异侧
利用两点之间，线段最短，化折为直
活动探究一： 将军饮马问题
变式探究：如图 ，将军牵马从军营 P 处出发，到河流OA 饮马，再到草地 OB 吃草，最后回到 P 处，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E 、F，使得走过的路程最短．
活动探究一： 将军饮马问题
C
E
D
F
如图所示，分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA ，OB 于 E、F，则路线 PE ，EF，PF 即为所求 .
活动探究一： 将军饮马问题
活动探究一： 将军饮马问题
拓展探究：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边 m 某一处牧马，再到河边 n 饮马，最后回到 B 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
解：作点 A 关于直线 m 的对称点 A'，
作点 B 关于直线 n 的对称点 B'，
连接 A'B'，
分别交 m，n 于 P，Q 两点，
牧民沿折线 A→P→Q→B 可得走可使所走的路径最短。
A
B
A'
B'
P
Q
情境探究：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
活动探究二： 造桥选址问题
问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么 AM ＋MN＋NB 最小能否进一步转化？
当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
MN 的长度是固定的，即求 AM + NB 最小值 .
活动探究二： 造桥选址问题
分析：
MN 平移到 AA′
AM + NB 最短
AM = A′N
A′N + NB 最短
A′、N、B 三点共线
连接 A′B
问题2：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)将这个问题简化？
活动探究二： 造桥选址问题
问题3：你能找到所要求的 N 点的位置吗？
活动探究二： 造桥选址问题
(2) 连接 A′B ，交直线 b 于点 N ，则点 N 即为所求．即在点 N 处建桥 MN .
(1) 将 MN 平移至 AA′ ，
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活动探究二： 造桥选址问题
将军饮马常见模型：
活动探究二 造桥选址问题
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解决最短路径问题
通常利用________、________实现线段的转移，把已知问题转化成容易解决的问题
轴对称
平移
1.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上.
(1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；
(2) △ABC 的面积是______；
(3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA + PB 最短.
12.5
解：(1)如右图所示；
(3)如图，连接 BA′ 交 l 于点 P，P 即为所求.
2.如图，已知 ∠AOB 的大小为 30°，P 是 ∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝1，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值等于 ( 　)
分析：作 P 点关于 OA 的对称点 P'，作 P 点关于 OB 的对称点 P''，连接 P'P'' 交 OA 于点 E、交BO 于点 F，连接 OP'、OP''，
C△PEF＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''.
C
【变式】如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN 的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为 (　 )
A.80° B.90° C.100° D.130°
C
分析：作 A 点关于 CD 的对称点 F，作 A 点关于 BC 的对称点 E，连接 EF 交 CD 于 N，交 BC 于 M，连接 AM、AN.
C△AMN＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF.综合与实践　最短路径问题
1.会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题.
2.会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题.
3.会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案.
重点：理解并掌握最短路径问题的基本原理和解决方法，能将实际问题转化为数学模型；学会运用轴对称、平移等图形变换，找到最短路径问题中的最短路线，并能进行相关计算和证明.
难点：从复杂的实际情境中抽象出数学问题，建立恰当的数学模型，选择合适的图形变换方法解决问题；在解决最短路径问题时，清晰地理解图形变换的依据和逻辑推理过程，培养空间观念和逻辑思维能力.
知识链接
我们以前学过“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”.我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题.
创设情境——见配套课件
活动探究一：牧民饮马问题
情境探究：多媒体展示牧民饮马的故事背景及问题：如图①，一位牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，问牧民在何处饮马，可使所走的路径最短？
问题1：如何把这个问题抽象为数学问题？
可抽象为这样的数学问题：如图②，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
问题2：两点在同侧我们不太好入手，先看看两点在异侧的情况：如图③，点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最小？依据是什么？
如图④，连接AB，交直线l于点C，则AC＋BC最小.依据：两点之间，线段最短.
问题3：现在我们回过头去解决问题1.应该如何思考？
如图⑤，我们可作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到B'C＝BC.则AC＋BC＝AC＋B'C.问题再次转化为：当点C在l的什么位置时，AC与B'C的和最小？
问题4：根据上面的分析，当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小？
如图⑥，在连接A，B'两点的所有线段中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求，即此时AC＋BC也最小.
思考：你能用所学的知识证明：上面求得的点C，使AC＋BC最小吗？试一试.
归纳总结：
拓展探究：如图，牧民从A地出发，先到草地边m某一处牧马，再到河边n饮马，最后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？
解：作点A关于直线m的对称点A'，作点B关于直线n的对称点B'，连接A'B'，分别交m，n于P，Q两点，牧民沿折线A→P→Q→B走可使所走的路径最短.
活动探究二：造桥选址问题
情境探究：如图①，A和B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
问题1：类比活动探究一，我们把上述问题抽象为数学问题，如图②，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直.那么AM＋MN＋NB最小能否进一步转化？
问题2：能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把上面图②的情况转化为下面图③的情况？
将图②中AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A'，如图④，则AA'＝MN，AM＋NB＝A'N＋NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A'N＋NB最小.
问题3：你能找到所要求的N点的位置吗？
如图⑤，连接A'B，交直线b于点N，则点N即为所求.即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短.
思考：你能证明点N的位置即为所求吗？
（师生讨论，在课件中展示答案）
1.探究教材P95任务3.
2.试着举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　第15章 轴对称
综合实践 最短路径问题
【素养目标】
1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识。（重点、难点）
2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想。
【情境导入】
大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马 →宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味话题。
我们以前学过：
① 两点的所有连线中，线段最短。
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。
我们称这种问题为最短路径问题。 今天我们将探究新情境下的最短路径问题。
【合作探究】
活动探究一：将军饮马问题
如何把这个问题抽象为数学问题？
问题1：如图，点 是直线 异侧的两个点，如何在 上找到一个点，使得这个点到点 、点 的距离的和最小？ 依据是什么？
问题2: 如果 位于直线 的同侧时，如何使得这个点到点 、点 的距离的和最小。
问题3: 根据上面的分析，当点 在 什么位置时， 与 的和最小？
作图过程：
思考： 你能用所学的知识证明： 最短吗？
变式探究：如图，将军牵马从军营 处出发，到河流 饮马，再到草地 吃草，最后回到 处，试分别在边 和 上各找一点 、 ，使得走过的路程最短。
拓展探究：如图，牧民从 地出发，先到草地边 某一处牧马，再到河边 饮马，最后回到 处。 牧民怎样走可使所走的路径最短？
活动探究二： 造桥选址问题
情境探究： 如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 . 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直。 那么 最小能否进一步转化？
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
问题2: 能否通过图形的变化（轴对称、平移等）将这个问题简化？
分析过程：
问题3: 你能找到所要求的 点的位置吗？
当堂反馈
1. 如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 在小正方形的顶点上。
(1) 在图中画出与 关于直线 成轴对称的 ;
(2) 的面积是 _________ ;
(3) 在直线 上找一点 ，使得 最短。
第1题图 第2题图
2. 如图，已知 的大小为 是 内部的一个定点，且 ，点 分别是 上的动点， 则 周长的最小值等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【变式】如图，四边形 中， , ，在 , 上分别找一点 , ，使 的周长最小时，则 的度数为 ( )
C. 100° D.
参考答案
活动探究一：将军饮马问题
问题1：连接 ，交直线 于点 ，则 最小。
依据： 两点之间， 线段最短。
问题2: 如图，我们可作出点 关于 的对称点 ，利用轴对称的性质， 可以得到 . 则 .
问题3: 在连接 两点的所有线段中，线段 最短。
因此，线段 与直线 的交点 的位置即为所求，即此时 最小。
作图过程：
(1) 作点 关于直线 的对称点 ；
(2) 连接 ，与直线 相交于点 . 则点 即为所求。
思考： 证明：如图，在直线上任取一点（与点不重合），连接 .
由轴对称的性质知： .
,
在 中， , ,
即 最短。
变式探究：如图所示，分别作点 关于 的对
称点 ，连接 分别交 于 ，则路线 即为所求。
拓展探究：
解： 作点 关于直线 的对称点 , 作点 关于直线 的对称点 , 连接 , 分别交 于 两点，牧民沿折线 可得走可使所走的路径最短。
活动探究二： 造桥选址问题
问题1: 的长度是固定的，即求 最小值。
问题2: 可以通过平移实现
问题3: (1) 将 平移至 ,
(2) 连接 ，交直线 于点 ，则点 即为所求。 即在点 处建桥 .
当堂反馈
1.解：（1）如右图所示； (2) 12.5 ;
(3) 如图，连接 交 于点 即为所求。
2. C 【变式】 C

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